Индивидуальный проект по математике на тему «Геометрическое определение коэффициента комфортности жилья»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Индивидуальный проект

по математике

на тему

«Геометрическое определение коэффициента комфортности жилья»

Выполнил: Лаптев В.

студент группы 2021-09

Проверил: Клещина Н.В.

преподаватель математики

Липецк, 2022

Содержание

1.Введение

В одной из телепередач “Прогноз погоды» я услышал, что в скандинавских странах часто строят малоэтажные дома сферической формы, т.к. эти дома являются самыми экономичными с точки зрения соотношения потери тепла и объема жилищного пространства, более устойчивы к природным катаклизмам и самыми комфортными. Очень усомнился в экономичности и комфортности такого жилья. Когда человеку уютно, приятно, спокойно, он говорит, что ему комфортно.

С помощью интернета убедился, что человек создает жилища разнообразной формы. Существуют традиционные жилища разных народов, а также современные архитектурные сооружения. Возникло много вопросов, на которые захотелось найти ответы. Существует ли связь между чувством комфортности и формой жилища? Жилище какой формы наиболее комфортно для проживания с точки зрения соотношения объема жилья и потери тепла через его поверхность? Существует ли зависимость между комфортом нашего дома и его математическими характеристиками: например, объёмом и площадью? Какой из народов нашей планеты сумел создать жилище наиболее комфортной формы?

Ответить на все поставленные вопросы можно вычислив коэффициент комфортности жилищ различной формы: прямоугольного параллелепипеда, куба, конуса, усеченного конуса, цилиндра, полусферы и сферы. Опираясь на стереометрическую изопериметрическую теорему, учеными была получена формула для вычисления комфортности жилища.

Чтобы впоследствии узнать, дом, какой формы является наиболее комфортным для проживания с точки зрения соотношения потери тепла и объема жилищного пространства, необходимо вычислить и сравнить изопериметрические коэффициенты жилищ. Назовем этот коэффициент коэффициентом комфортности. Для этого потребуется формула k = , где V — объем жилища, S — площадь полной поверхности. Чем больше коэффициент, тем комфортнее жилище.

Цель исследования: определить, жилище, какой формы наиболее комфортно для проживания с точки зрения соотношения объема и площади полной поверхности жилищного пространства.

Задачи:

Изучить теоретический материал по теме работы.

Анализ интернет - ресурсов

Вычислить коэффициенты комфортности для жилищ разной геометрической формы.

Сравнить коэффициенты комфортности исходя из полученных результатов.

Найти применение результатам исследования в повседневной жизни.

Объектом исследования являются жилища, которые имеют различную геометрическую форму.

Предмет исследования: изопериметрический коэффициент комфортности жилища.

Гипотеза: жилье сферической формы имеет наивысший коэффициент комфортности.

Актуальность темы заключается в демонстрации и применении математических знаний в повседневной практической деятельности человека.

Методы исследования: сбор материала по теме, его анализ и обработка, математические расчеты, поиск применения результатов исследования в повседневной жизни, оформление работы, создание презентации.

2.Вычисление коэффициента комфортности жилищ различной формы

Изопериметрический коэффициент комфортности можно найти по формуле:   k = , где V- объем жилища, S - площадь полной поверхности. Чем больше коэффициент, тем комфортнее жилище.

Чем ближе изопериметрический коэффициент геометрического тела к единице, тем ближе такое жилище к идеальному с точки зрения моего исследования. Это значит, что жилище, имеющее наибольший изопериметрический коэффициент, — наилучшее с точки зрения соотношения жилого пространства и поверхности, через которую уходит из дома тепло.

3.Вычисление коэффициента комфортности жилья в форме прямоугольного параллелепипеда

В нашем городе, как и во многих странах, подавляющее числомногоэтажных и одноэтажных домов имеют форму прямоугольного параллелепипеда. И наш дом, и первый арендный дом в нашем городе. Такую же форму имеют частные дома не только в нашей стране, но и в других странах – в Испании, Мексике, Аргентине…(Приложение1). Комнаты преимущественно тоже в форме прямоугольного параллелепипеда. Используя формулу, по которой вычисляется коэффициент комфортности жилища, определим наиболее комфортную комнату в нашей квартире, а так же коэффициент комфортности кабинета математики и спортивного зала в нашей школе. Сравним коэффициент комфортности трех комнат, имеющих равную площадь пола и высоту, но различную форму пола.

3.1.Зал в нашей квартире: длина – 6,4м; ширина- 3м, высота – 2,4м.

Вычисление коэффициента комфортности:

1)Найдем объем прямоугольного параллелепипеда:V=abc=6,4*3*2,4= 46,8(м³)

2) Найдем площадь полной поверхности:

S_{полн. поверхности} = 2(ab+bc+ac) = 2(6,4^.3+3*2,4+6,4*2,4) = 2(19,2+7,2+15,36) =2*41,76 = 83,52 (м²)

3) Найдем коэффициент комфортности: 0,425

0,425<1

3.2.Моя спальня: длина – 5м; ширина – 3м; высота – 2,4м.

Вычисление коэффициента комфортности:

1) Найдем объем прямоугольного параллелепипеда: V= abc =5*3*2,4=36(м³).

2)Найдем площадь полной поверхности:

S _{полной поверхности} =2(ab+bc+ac)=2(5^.3+3*2,4+5*2,4)= 2(15+7,2+12) = 68,4( м²).

3) Найдем коэффициент комфортности: 0,458.

0,458 < 1.

Оказалось, что при одной и той же ширине и высоте, но при разной длине коэффициент комфортности разный. 0,425 < 0,458 < 1

3.3. Кабинет математики в школе: длина - 8м; ширина - 6м; высота -3.2м.

Вычисление коэффициента комфортности:

1) V=a*b*c=6*8*3,2=153,6 (м³)

2) S=6*3.2*2+3.2*8*2+8*6*2=185,6 (м²)

3) k = = 0,42 .

0,42 ˂ 1

3.4. Спортивный зал нашей школы: длина -15 м, ширина -8 м, высота-4,2м

Вычисление коэффициента комфортности:

1)V=4, 20*8*15=504 (м³)

2)S=8*4, 20*2+15*4, 20*2+8*15*2=433, 2 (м²)

3) k= = 0, 35.

0,35˂ 1.

3.5. Сравним коэффициент комфортности трех комнат, имеющих равную площадь пола -36м² и высоту-2.4м, но различную форму пола.

3.5.1.Квадрат со стороной 6 м.

Вычисление коэффициента комфортности:

1) V=36*2,4=86,4 (м³)

2) S=6*4*2,4+36*2=57,6+72=129,6 (м²)

3) k= = 0, 39˂ 1.

3.5.2Прямоугольник со сторонами 4м и 9м.

Вычисление коэффициента комфортности:

V=36*2,4=86,4 (м³)

S=4*2,4*2+9*2,4*2+36*2=19,2 +43,2 +72=134,4 (м²)

k= = 0, 35 ˂ 1.

3.5.3 Прямоугольник со сторонами 2м и 18м.

Вычисление коэффициента комфортности:

V=36*2,4=86,4 (м³)

S=2*2,4*2+18*2,4*2+36*2 = 9,6 +86,4 +72 = 168 (м²)

k= = 0, 18˂ 1.

Вывод: коэффициент комфортности жилья в форме прямоугольного параллелепипеда значительно меньше единицы, коэффициент комфортности комнат, имеющих равную площадь пола и высоту, но различную форму пола выше, если пол имеет форму квадрата. Значит, жилье формы прямоугольного параллелепипеда не очень комфортное. 

4.Вычисление коэффициента комфортности жилья в форме куба

Нередко встречаются дома и помещения в форме куба. Примером могут служить десять отелей в форме куба, а так же частные дома в Китае, в Ирландии,в Германии, в Канаде…(Приложение 2)

Так как коэффициент комфортности жилья в форме куба не зависит от размеров ребра, вычислим его в общем виде.

Дано: куб с ребром а.

Найти: коэффициент комфортности.

Решение.

1)Найдем объем куба: V= a³.

2)Найдем площадь полной поверхности: Sп.п.=6а².

3)Найдем коэффициент комфортности k= = 0,52˂ 1.

Вывод: коэффициент комфортности жилья в форме куба меньше единицы, но по сравнению с жильем в форме прямоугольного параллелепипеда коэффициент комфортности выше. Значит жилье в форме куба комфортнее.

5.Вычисление коэффициента комфортности жилья в форме конуса

В разных странах имеются дома в форме конуса. Так коническую форму имеют собор в бразильском городе Маринге, здание в городе Могила на острове Самосир, здание гостиницы в Беларуси чум Башня Кутаба в Индии. Жилищем конической формы является восточносибирский чум. Это переносная конусообразная палатка, которая достаточно устойчива при сильном ветре и метелях. (Приложение 3). Выясним, комфортно ли в таком жилище и зависит ли коэффициент комфортности чума от величины высоты и радиуса основания.

5.1. Если радиус, высота и образующая заданы числами, образующими Пифагорову тройку.

Дано: высота – 4 м, радиус основания – 3 м, образующая – 5 м.

Вычисление коэффициента комфортности:

V= * 3,14*3²*4= 37,68(м³)

S_{боковой поверхности} = 3,14*3*5=47,1 (м²)

S_{основания} = 3,14*3² = 28,26 (м²)

S = 47,1 + 28,26 = 75,36 (м²)

k= = 0,375

0,375˂ 1.

5.2. Уменьшим первоначальное значение радиуса на 1 м.

Дано: высота – 4 м, радиус основания – 2 м, образующая –м.

Вычисление коэффициента комфортности:

1)V= * 3,14*2²*4= 16,75( м³)

S_{боковой поверхности} = 3,14*2*=26,64 (м²)

S_{основания} = 3,14*2² = 12,56 (м²)

S = 26,64 + 12,56 = 39,2 (м²)

k= = 0,53.

0,53˂ 1

5.3. Уменьшим высоту в 2 раза.

Дано: высота – 2 м, радиус основания – 3 м, образующая –м

Вычисление коэффициента комфортности:

V= * 3,14*3²*2= 18,84( м³)

S_{боковой поверхности} = 3,14*3*= (м²)

S_{основания} = 3,14*3² = 28,26 (м²)

S = 33,96 + 28,26 = 75,36 (м²)

k= 0,17.

0,17˂ 1

5.4. Если осевое сечение конуса правильный треугольник.

Дано:l =a, R=, h =.

Вычисление коэффициента комфортности:

V= πR²h = *π * =

S_{боковой поверхности} = πRl =

S_{основания} = π =

S_{полной поверхности} =

k= = 0,44.

0,44˂ 1

Вывод: коэффициент комфортности жилья в форме конуса меньше единицы; коэффициент комфортности выше, если осевое сечение конуса правильный треугольник и высота больше радиуса основания. Значит жилье в форме конуса комфортнее, если угол наклона образующей к плоскости основания больше 60^о.

6.Вычисление коэффициента комфортности жилья в форме усеченного конуса

Собор Святого Себастьяна В Рио-де-Жанейро, д-ром Оуэн Гейгер (Owen Geiger), жилища эвенков имеют форму усеченного конуса. (Приложение 4). Посчитаем коэффициент комфортности такого жилища. Проверим зависит ли он от угла наклона образующей к плоскости основания. Воспользуемся формулами:

S_{полной поверхности} = πR₁² +π l (R₁₊R₂) + πR₂²

V = πH(R₁² + R₁ R₂ + R₂²)

6.1.Дано: R₁ = 3м, R₂ =2м, H=2,5м.

l = = 2,70( м)

S_{полной поверхности}=3.14*3²+3.14 *2,7(3+2)+3,14*2²=28,26+42,39+ 12,5683,21(м²)

V = 3,14* 2,5* (9+6+4) 49,72( м³)

k= =0, 49.

0, 49˂ 1

6.2.Уменьшим высоту.

Дано: R₁ = 3м, R₂ =2м, H=2м

l = = 2,23(м)

S_{полной поверхности}=3.14*3²+3.14*2,23*5*3,14*2²=28,26+35,01+12,5675,83(м²)

V = 3,14* 2* (9+6+4) 39,77( м³)

k= =0,41 ˂ 1.

6.3.Увеличим высоту.

Дано: R₁ = 3м, R₂ =2м, H=3,5м

l = = 3,64 ( м)

S_{полной поверхности}=3.14*3²+3.14*3,64*5*+3,14*2²=28,26+57,15+ 12,5697,97(м²)

V = 3,14* 3,5* (9+6+4) 69,60( м³)

k= =0,58 ˂ 1.

Вывод: коэффициент комфортности жилья в форме усеченного конуса меньше единицы; но он выше, коэффициента комфортности жилья в форме конуса. Комфортнее жилье, если угол наклона образующей к плоскости основания больше 60^о.

7.Вычисление коэффициента комфортности жилья в форме цилиндра

Форма цилиндра достаточно распространена в архитектуре. В форме цилиндра построены различные башни, высотные дома, кинотеатры, спортивные сооружения. Примером архитектурных сооружений в форме цилиндра могут быть: круглый дом Мельникова в Москве, цилиндрический дом в Мадриде, «AquaDom» –25-метровый аквариум в отеле «Radisson SAS Hotel» в Берлине, здание из стекла и бетона в Варшаве, жилой комплекс «Авангард» в Москве, вилла в Японии, а так же юрта – жилище кочевников казахов, монголов, киргизов и жилище народа Кирди в Камеруне. (Приложение 5). Вычислим коэффициент комфортности такого жилища.

7.1. Традиционные размеры жилища народа Кирди: радиус основания – 2 м, высота – 6 м.

V= πR²Н= 3,14* 4 *6= 75,36( м³)

S_{полной поверхности} = 2 πR(R+Н)= 2*3,14*2(2+6)= 100,48(м²)

k= = 0.63 ˂ 1.

7.2.Рассмотрим влияет ли изменение высоты на коэффициент комфортности.

Дано:R = 2 м, h = 3м

Вычисление коэффициента комфортности:

V= π*R²*h = π * * 3 = 37,68( м³)

S_{боковой поверхности} = 2πRh = 2*3,14*2*3 = 37,68(м²)

S_{основания} = π = 3,14*4= 12,56(м²)

S_{полной поверхности} = 37,68 + 25,12 = 62,8(м²)

k= = 0, 65 ˂ 1.

7.3. Увеличим радиус, высоту оставим прежней.

Дано:R = 3 м, h = 3м

Вычисление коэффициента комфортности:

V= π*R²*h = π * * 3 = 84,78( м³)

S_{боковой поверхности} = 2πRh = 2*3,14*3*3 = 56,52(м²)

S_{основания} = π = 3,14*9= 28,26(м²)

S_{полной поверхности} = 56,52 + 56,52 = 113,04(м²)

k= = 0,56 ˂ 1.

7.4. Рассмотрим равносторонний цилиндр.

Дано:R = 2 м, h = 4м

V= π*R²*h = π * * 4 = 50,24( м³)

S_{боковой поверхности} = 2πRh = 2*3,14*2*4 = 50,24(м²)

S_{основания} = π = 3,14*4= 12,56(м²)

S_{полной поверхности} = 50,24 + 25,12 = 75,36(м²)

k= = 0,67 ˂ 1.

Вывод: коэффициент комфортности жилья в форме цилиндра меньше единицы, но по сравнению с другими, такое жилье можно считать достаточно комфортным. Из всех цилиндров наивысший коэффициент комфортности у равностороннего цилиндра.

8.Вычисление коэффициента комфортности купольного дома - жилья в форме полусферы и шара

Под купольным домом принято понимать строительный объект сферической, формы и с закругленной крышей. Форму шара и полусферы имеют многие архитектурные сооружения. Первые сферические постройки появились еще в Византии, да и эскимосы стали создавать свои жилища в условиях экстремально низких температур еще много лет назад. Северные народы первыми заметили, что сферические постройки обладают высокой ветроупорностью и сейсмоустойчивостью. Современные сферические здания выглядят просто невероятно, проекты поражают воображения.

Какслауттанен - семейная гостиница. Этот уникальный отель с аутентичными номерами — иглу с панорамной крышей расположился в Полярном круге, в провинции Лапландии в Финляндии. Аналогичный отель есть в Канаде и еще пяти странах. Номера оснащены всем необходимым для проживания, а через прозрачную крышу виднеется чистейшее небо со звездами или северным сиянием. Дачи и частные дома в Подмосковье, дом-шар в Новосибирске, дома в Великобритании имеют сферическую форму. 50 сфер на цилиндрических основаниях стоят в одном месте, образуя особый микрорайон городка Хертогенбос недалеко от Амстердама. Название поселения - Болвонинген, что означает дом-шар. Этим сооружениям уже около 40 лет (Приложение 6). Интересно, как чувствует себя человек в доме сферической формы с точки зрения комфортности..

8.1.Вычислим коэффициент комфортности полусферы.

Дано:R = 2 м.

Вычисление коэффициента комфортности:

V= πR³

S_{боковой поверхности} = 2πR ²

S_{основания} = π

S_{полной поверхности} = = 3π

k= = 0,60 .

0,60 ˂ 1.

8.2. Вычислим коэффициент комфортности сферического жилища. Размеры жилища: радиус – 2 м.

Вычисление коэффициента комфортности:

1) V=*3.14*2³ = 33,49 м³

2) S = 4*3.14*2² = 50,24(м²)

3)k= = = 0.999980009 ≈1

8.3.Вычислим коэффициент комфортности в общем виде.

V= πR³

S _{поверхности} = 4πR ²

k= = = 1

Вывод: мы получили наибольший возможный коэффициент. Купольный дом - сфера наиболее комфортен для жилья.

9.Заключение.

В процессе моего исследования я изучил теоретический материал [1] для вычисления площади и объема геометрических тел, проанализировала параметры и характеристики жилищ разных народов, вычислила коэффициент комфортности жилищ различной формы: прямоугольного параллелепипеда, куба, конуса, усеченного конуса, цилиндра, полусферы и сферы и сравнила комфортность жилищ разной формы и размеров.

Цель работы достигнута. Исследование подтвердило гипотезу: Жилье сферической формы имеет высший коэффициент комфортности. Думаю, что в скором будущем преимущества сферы будут использованы в архитектуре, и новые города будут преимущественно содержать дома - сферы, полусферы в комбинации с цилиндрами. Будущее за купольными сооружениями.

Практическая значимость моего исследования состоит в том,что сведения, полученные в ходе выполнения этой работы, может применить любой человек, который живет в частном доме или имеет загородный дом при постройке беседок, теплиц, установке подвесных кресел. Эту информацию можно использовать, отправляясь на отдых при выборе отелей с видом на северное сияние, кемпингов, палаток, а так же при выборе детских домиков-палаток и жилья для своих питомцев. (Приложение 7).

Материал данной работы можно рекомендовать к использованию на уроках математики или на факультативных занятиях в качестве дополнительного материала с целью появления у учащихся заинтересованности к учебному предмету и пробуждения желания к изучению математики, а также для расширения их кругозора.

Считаю, что интересно и полезно продолжить расчеты исследованием более сложных форм и фигур.

В процессе исследования комфортности жилища я испытал интеллектуальную комфортность - это удовлетворенность своей мыслительной деятельностью и ее результатами, а также удовлетворение потребности в получении новой информации.

10.Список используемых источников

В.В. Шлыков «Геометрия 11», Минск, «Народная асвета» 2013г.

А. М. Абрамов, Н.Я. Виленкин, Г.В. Дорофеев, и др.  Избранные вопросы математики 10 кл.: Факультативный курс. М.: Просвещение 1980

 https://m-strana.ru/articles/kupolnyy-dom/

4. melnikovasv.ucoz.ru›_ld/0/41

5. http://festival.1september.ru/articles/525352/http://www. rugbc. org/ru/resources/articles/izvseh-tel-ravnogo-ob-ema-naimenshaya-poverhnost-u-shara melnikovasv. ucoz. ru›_ld/0/41 http://festival.1september. ru/articles/525352/ http://www. /books/000738756344d1ef668c1

6. дома-сферы фото

7. жилища народов мира с названиями