Исследовательская работа "способы решения текстовых задач"

Разное

Работа предназначена для ознакомления со способами решения задач

Побойнева Елена Михайловна

06 февраля 2023

1104

Содержимое публикации

Районная конференция

работ исследовательского характера учащихся

”С наукой в будущее“

исследовательская работа

«Способы решения текстовых задач»

Автор:

Побойнев Артём Вадимович,

учащийсяV «А» класса

ГУО ”Средняя школа № 21 г.Орши“

Руководитель:

Побойнева Елена Михайловна,

учитель математики,

ГУО ”Средняя школа № 21 г.Орши“

г. Орша

2022

Задачи сопровождают человека на протяжении всей жизни. Решением текстовых задач мы занимается с самого раннего детства. Это происходит тогда, когда родители задают нам самые простые задачи: «Раздели поровну шесть конфет между собой и двумя твоими друзьями», «На ветке сидели три птички, потом прилетели еще две. Сколько стало птичек на ветке?» и т.д. Решая такие задачи, мы не задумываемся над тем, что их можно решать разными способами.

В начальных классах мы знакомимся с арифметическим способом решения задач или, другими словами, решая задачи по действиям. А вот в пятом классе мы рассматриваем алгебраический способ или решаем с помощью уравнений. И мне стало интересно - есть ли ещё какие-нибудь способы решения текстовых задач? А может одну и ту же задачу можно решать разными способами? Есть ли самый простой способ решения любой задачи?

Актуальность.Текстовые задачи, на мой взгляд, довольно сложный материал. И не все любят их решать. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи, будят фантазию. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач. Каждый раз, решая задачу новым способом, создается благоприятный фон для творческих навыков. Следует отметить, что решение задач различными способами позволяет убедиться в правильности решения задачи, дает возможность глубже раскрыть зависимости между величинами, рассмотренными в задаче. Я осознал, что, научившись решать задачи различными способами, смогу применять их не только на уроках и олимпиадах, но и в жизни.

Цель работы: исследование различных способов решения текстовых задач в курсе изучения математики пятых классов.

Объект исследования: текстовые задачи в курсе математики пятых классов.

Предмет исследования: способы решения текстовых задач.

Проблема:в школьном курсе изучения математики используется ограниченное количество способов решения текстовых задач.

Гипотеза: зная различные способы решения текстовых задач можно упростить или ускорить процесс их решения.

В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:

изучить научную литературу по данной проблеме;

рассмотреть способы решения текстовых задач;

описать способы решения задач в 5-х классах;

продемонстрировать различные способы решения одних и тех же текстовых задач;

провести сравнительный анализ различных методов решения текстовых задач, выявить наиболее рациональный.

показать преимущество знаний различных способов решения текстовых задач.

ГлаваI. Способы решения текстовых задач

"Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах, игре на фортепиано; научиться ему можно только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь... если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их ". (Д. Пойа.)

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты или способы, с помощью которых выполняется эта работа [8].

В самом начале нашего исследования, у меня возник вопрос «Какие способы решения текстовых задач уже изучены в начальных классах? С какими знакомимся в пятом классе? И с какими знакомимся в старших классах?»

Один из вопросов я задал учащимся своего класса. «Каким способом вы предпочитаете решать текстовые задачи?»

Я получил следующие ответы:

- 63 % учащихся ответили «по действиям»

- 27 % учащихся ответили «с помощью уравнений»

- 10 % учащихся не смогли определиться, написав «и по действиям, и с помощью уравнений»

Интересно, что учащимся моего класса известно только два способа решения текстовых задач. А сколько существует таких способов в математике?

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

арифметический,

алгебраический,

геометрический,

схематический,

графический

Арифметический способ решения задачи заключается в нахождении ответа задачи путем арифметических действий над числами.

Алгебраический способ решения текстовой задачи состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения и последующего его решения.

Геометрический метод предполагает нахождениеответа на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Схематический позволяет решить задачу с помощью схем и графов.

Графический способ позволяет решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Рассмотрим каждый из этих способов на примере задач, размещенных в школьных учебниках по математике.

ГлаваII. Примеры решения текстовых задач

Математическая задача – это связанный лаконический рассказ [8], в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти [8].

Умение решать текстовые задачи разными способами позволяет не только убедиться в правильности полученного ответа, но и позволяет выбрать более рациональный способ решения той или иной текстовой задачи. Что, в свою очередь, дает возможность сэкономить время при решении текстовых задач. А это немаловажный аспект в современном образовательном процессе, т.к. в скором времени все выпускники XI классов будут сдавать тестирование по математике.

Рассмотрим подробнее каждый из способов решения текстовых задач.

2.1. Решение текстовых задач арифметическим способом

Варифметическом способе решить задачу – значит выполнить арифметические действия над числовыми данными из условия задачи, составив числовое выражение, а конечный результат вычислений – ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Три друга Саша, Коля и Витя собирали в лесу грибы. Коля собрал грибов в 2 раза меньше, чем Саша, а Витя на 6 грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрали три друга вместе, если Саша собрал 22 гриба?

Решение данной задачи не вызывает трудность, если грамотно составить краткую запись:

Саша – 22 гриба;

Коля -? грибов, в 2 раза меньше, чем Саша;

Витя-? грибов, на 6 грибов больше, чем Коля;

Всего: Саша+ Коля+ Витя-? грибов.

В начальной школе нас учили решать эту задачу по действиям, отвечая последовательно на каждый вопрос задачи, а затем на главный вопрос.

22:2=11(гр.) собрал Коля,

11+6=17(гр.) собрал Витя,

22+11+17=50 (гр.) собрали вместе

Ответ: 50 грибов.

Эту же задачу можно решить, записав числовое выражение:

22+22:2+(22:2+6) =50

Задача 2.После опроса в классе выяснилось, что историю и трудовое обучение любят 16 учащихся V «А» класса, математику и трудовое обучение – 14 учащихся, а историю и математику – 24 учащихся. Сколько учащихся любят каждый предмет, если каждый ученик указывал только один любимый предмет?

Решение.

1)2414 + 16 = 54 (уч.) - удвоенное число учащихся,

2)54:2 = 27 (уч.) – всего в классе;

3)27 – 24 = 3 (уч.) – любят трудовое обучение;

4)27 – 14 = 13 (уч.) – любят историю;

5)27 – 16 = 11 (уч.) – любят математику.

Ответ: 3 учащихся, 13 учащихся, 11 учащихся

Большинство текстовых задач, размещенных в учебнике 5 класса, решаются арифметическим способом [2, с. 77-78].

2.2. Решение текстовых задач алгебраическим способом

Известный американский педагог и математик Д.Пойа пишет, что «составить уравнение – значит выразить символами условие, сформулированное словами. Это перевод с обычного языка на язык математических формул. Трудности, которые могут встретиться при составлении уравнений, являются трудностями перевода» [6].

При решении задачи алгебраическим способом необходимо выполнить несколько этапов:

1) Найти связь между величинами и выполнить краткую запись (форма записи может быть различной – таблица, схема, чертеж и т.д. То, что ближе подходит тому, кто решает задачу)

2) Выбрать переменную и выразить все неизвестные величины задачи через неё. Важно помнить, что обычно этот этап начинается с фразы: «Пусть x единиц -…, тогда…». Чаще всего за неизвестное принимают то, что необходимо найти в задаче, хотя бывает это и неудобно, тогда за неизвестное принимают другую величину. При введении переменной необходимо учесть наибольшее удобство математической записи условия задачи.

3) Составление и решение уравнения

4) Анализ решения уравнения. Цель этапа – из всех найденных решений уравнения выбрать те, которые подходят по смыслу задачи.

5) Запись ответа в соответствии с вопросом задачи.

Решим алгебраическим способом задачу 2, которую решали выше арифметическим способом.

Задача 2. После опроса в классе выяснилось, что историю и трудовое обучение любят 16 учащихся V «А» класса, математику и трудовое обучение – 14 учащихся, а историю и математику – 24 учащихся. Сколько учащихся любят каждый предмет, если каждый ученик указывал только один любимый предмет?

Пустьх учеников любят математику, тогда 24-х учащихся любят историю и 14-хучащихся – трудовое обучение. Составим уравнение по первому утверждению нашей задачи - историю и трудовое обучение любят 16 учащихся V «А» класса, значит

(24-х)+(14-х)=16

24-х+14-х=16

38 – 2х = 16

2х = 38-16

2х = 12

х = 22:2

х = 11 учащихся любят математику

24 – 11 = 13 учащихся любят историю

14 – 11 = 3 учащихся любят трудовое обучение

Ответ: 3 учащихся, 13 учащихся, 11 учащихся

Алгебраический способ решения задач является самым распространенными наиболее общим в школьном курсе изучения математики.

Заметим, что арифметический способ решения этой задачи оказался немного короче, но кому-то покажется, что с помощью переменной легче и быстрее. Это зависит от предпочтений в решении и оформлении задачи того учащегося, который решает задачу.

2.3. Решение текстовых задач геометрическим способом

Геометрический способ заключается в применении свойств геометрических фигур и взаимосвязи их элементов в процессе решения задачи. Данный метод делает решение текстовой задачи более наглядным и позволяет избежать громоздких вычислений. В пятом классе такие задачи могут встречать на факультативных занятиях.

Решение. Изобразим количество учащихся, которые любят математику отрезком одной длины, которые любят историю – другим отрезком, которые любят трудовое обучение – третьим.

математика

история

трудовое обучение

По условию задачи нам дано, что математику и трудовое обучение – 14 учащихся (1)

историю и трудовое обучение любят 16 учащихся (2)

историю и математику – 24 учащихся (3)

Сложив все эти отрезки, мы получаем удвоенное количество учащихся V класса.

Разделим отрезки пополам (4)

Получим, что учащихся в классе 27.

Тогда, отняв отрезки (1) от отрезков (4), получим количество учащихся, которые любят историю

13 учащихся

Отняв отрезки (2) от отрезков (4), получим количество учащихся, которые любят математику

11 учащихся

Отняв отрезки (3) от отрезков (4), получим количество учащихся, которые любят трудовое обучение

3 учащихся

Ответ: 3 учащихся, 13 учащихся, 11 учащихся

Как видим, это более длинное решение нежели арифметическим или алгебраическим способами. Можно сделать вывод о том, что у учащихся должно быть несколько вариантов решения задачи, чтобы выбрать более оптимальный и ускорить процесс решения текстовой задачи.

Для составления математической модели текстовой задачи чаще всего применяются отрезки и их длины, а также прямоугольники и их площади.

А так как изучение геометрии начинается только в седьмом классе, то и такие задачи размещены на страницах учебников для 7 классов.

Рассмотрим еще одну задачу.

Из 14 м ткани можно сшить 4 мужских и 2 детских пальто. Сколько метров ткани необходимо для пошива одного мужского и одного детского пальто. Если из 15 м той же ткани можно сшить 2 мужских и 6 детских пальто?

Решение:изобразим количество ткани на 1 мужское пальто отрезком одной длины, а на детское пальто - отрезком меньшей длины. Получим следующую картину:

1) 4 больших и 2 маленьких,

14 м

2) 2 больших и 6 маленьких,

15м

3)Уравняем количество больших отрезков, например, уменьшив отрезок 1) в 2 раза:

14:2 =7 м,

Найдём разницу меньших отрезков и разницу в м между 2) и 3) строкой: 6 - 1=5 отрезков, 15 - 7= 8метров, значит 8:5=1,6 м. Получили, что на одно детское пальто расходуется 1,6м ткани, значит на 1 мужское пальто 2,7 м.

Решение этой задачи алгебраическим способом сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Пусть на 1мужское пальто расходуется х м ткани, а на 1 детское y м ткани, тогда

4х+2у=14, Решив систему уравнений, получим тот же ответ. 2х+6у=15

Так как, с решением системы уравнений с двумя переменными в пятом классе еще не решают, то для данной задачи геометрический способ является наиболее оптимальным и посильным для учащихся пятых классов.

Итак,геометрический метод в решении текстовых задач отличается может и не отличается быстротой выполнения, но является неординарным и рациональным, а также позволяет экономить время и быстро находить правильный ответ в тех задачах, с которыми учащиеся 5-х классов еще не знакомы.

2.4. Решение текстовых задач схематическим способом

Схематический способ решения задач — это старинный способ, его знали ещё до н.э. в Древней Греции во времена Пифагора, а в 18-19 веках успешно использовали купцы при торговле смешанным товаром.

Например, решение следующей задачи алгебраическим способом под силу только шестикласснику.

Задача 5. Сколько надо взять 5%-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 л 10%-го раствора кислоты?

Пусть надо взять х л первого раствора и (4-х) л второго, тогда кислоты будет взято или 0,1·4=0,4, или 0,05х+0,25· (4-х) л.
Составим уравнение:
0,05х+0,25(4-х) =0,4.

0,05х + 1 – 0,25х = 0,4

- 0,20х = 0,4-1

-0,20х = -0,6

х = 0,6:0,2

х=3
Следовательно, надо взять 3 л первого раствора и 4-3=1 л второго.

Итак, эту задачу мы решили алгебраическим способом.

Так как в пятом не проходят еще проценты, то решение данной задачи будет довольно затруднительным, а вот схематический способ подходит для учащихся моего возраста. Что облегчает решение данной задачи.

Решим задачу схематическим способом.

Запишем в столбик друг под другом наши растворы 5% и 25 %, в центре второго столбика запишем смесь, которую нам нужно получить – 10 %. В третий столбик запишем модуль разности чисел 25% и 10%, 5% и 10%. Получившиеся результаты разделим на НОД самих чисел 5 и 15, т.е. на 5, получим 3 части и 1 часть, эти результаты запишем в 4 столбик.

Схематический способ решения текстовых задач значительно упрощает решение задач на смешивание растворов и получение сплавов [4].

5% 25%-10%=15% 15:5 =3 части

10% НОД(5;20)=5

25% 10%-5%=5% 5:5 =1 часть

Значит, на 4 л раствора нудно взять 3 литра 5% раствора кислоты и 1 литр 25% раствора.

Ответ: на 4 л раствора нудно взять 3 литра 5% раствора кислоты и 1 литр 25% раствора.

Задача 10. У мамы имеется 70 % уксусная эссенция и 6% пищевой уксус. Для консервирования, ей нужно получить 14% раствор уксуса. Как маме получить необходимый раствор?

70% 14-6=8 8:8=1часть

14% НОД(8;56)=8

6% 70-14=56 56:8=7 частей

Значит, для получения необходимого раствора нужна 1 часть 70% эссенции и 7 частей 6% пищевого уксуса. В роли одной части может выступать, например, чайная ложка.

Решать некоторые математические задачи помогаютспециальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их отрезков или стрелок. Такие схемы называются графами, точки вершинами графа. А отрезки или стрелки – ребрами графа.

Решение задач с помощью графов является перспективной частью моей работы.

2.5. Решение текстовых задач графическим способом

Перед тем, как рассмотреть графический метод решения текстовых задач, нужно изучить тему «Координатная плоскость», с которой учащиеся знакомятся только в 6-м классе.

Графическое изображение, описывающее условие задачи позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче. Также он позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие задачи, а иногда и просто заменить алгебраическое решение чисто геометрическим. Особенно успешно можно применять этот метод при решении математических текстовых задач на движение и работу.

Задача 6. Расстояние между двумя городами равно 450 км. Два автомобиля выходят одновременно навстречу друг другу. Один автомобиль мог бы пройти все расстояние за 9 часов, другой – вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

Данную задачу можно решить арифметическим способом. Вычислим скорости автомобилейv₁=450:9=50 км/ч, v₂=450:4,5=100км/ч,

v_{сближения}= 50+100=150 км/ч, t=S:v=450:150=3 часа.

Решимеё графически. По оси ординат отложим расстояние, а по оси абсцисс время. Движение автомобилей изобразим в виде двух прямых, выходящих навстречу друг другу. Читаем с чертежа ответ: автомобили встретятся через 3 часа.

На мой взгляд, данная задача решалась несложно арифметическим способом, но решение геометрическим способом ещё и наглядное, что даёт ему преимущество перед другими способами.

Задача 7. Петя выехал навстречу Васе, который вышел пешком. Петя преодолевает расстояние между поселками за 2 часа, а Вася - за 8 часов.Сколько времени они будут двигаться до встречи?

S,км

Решение. По оси абсцисс отложим время, о по оси ординат путь (отрезок произвольной длины)

t,ч

По графику видно, что они встретятся через .

Решим данную задачу арифметическим способом.

Все расстояние примем за 1. Тогда скорость Пети расст/ч, а Васи расст/ч. Найдем скорость их сближения

(расст/ч) – скорость сближения

Тогда время их встречи найдем:

Ответ:

Как мы можем заметить, что решение данной текстовой задачи графическим способом намного легче и быстрее, чем арифметическим.

Изучая графический способом решения задач, я узнал, что такимспособом можно решать задачи «на работу», только в большинстве случаев в процессе решения используется подобие возникших треугольников, которое изучается в 8 классе в курсе геометрии. Поэтому я решил рассмотреть данный тип задач, как перспективу моей работы.

Заключение

Рассматривая различные источники и анализируя литературу, мы пришли к выводу, что алгебраические задачи, можно решать геометрически, схематически, графически. Конечно, алгебраический способ - универсальный, но знание различных способов часто упрощает решение задачи. Некоторые задачи, рассматриваемые в 6-7-х классах, могут решать уже учащиеся 5-х классов. Зная различные способы решения задач, для учащихся 5-х классов решение текстовых задач упрощается.

В процессе исследования мы рассмотрели различные текстовые задачи, подобрали для них различные способы решения, сравнили эти способы. Решения некоторых задач продемонстрированы в работе.

Вывод:Арифметический и алгебраический способы решения текстовых задач являются наиболее универсальными для учащихся 5-х классов. Но знание геометрического, схематического и графического способов позволяет расширить математический кругозор, сэкономить время при решении определенных задач, упростить их, сделав решение более наглядным. Знание различных способов, позволяет выбрать оптимальный способ решения текстовой задачи.

В результате выполнения исследовательской работы я расширил своё представление о способах решения текстовых задач, освоил и сравнил эти способы, показал их применение при решении задач, которые рассматриваются в наших учебниках. Таким образом, была достигнута цель, которую мы ставили: исследование способов решения текстовых задач в курсе изучения математики 5-х классов. Познакомившись с несколькими способами решения текстовых задач, я научился быстрее и рациональнее решать задачи, что позволяет увереннее себя чувствовать на уроках математики.

Надеюсь, моя работа будет полезна не только мне, но и принесёт пользу моим сверстникам, учителям и учащимся старших классов.

Список использованных источников:

Арефьева И. Г. Алгебра: учеб. пособие для 7-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / И. Г. Арефьева, О. Н. Пирютко – Мн.: Адукацыя і выхаванне,2017. – 312. : ил.

Герасимов В. Д. Математика: учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения В 2 Ч. / В. Д. Герасимов, О. Н. Пирютко, А. П. Лобанов – Мн.:Адукацыя і выхаванне,2020. – 176 с. : Ч.1

Герасимов В. Д. Математика: учеб. пособие для 6-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения В 2 Ч. / В. Д. Герасимов, О. Н. Пирютко, А. П. Лобанов – Мн.:Адукацыя і выхаванне,2018. – 320. : ил.

Капкаева Л.С. Алгебраический и геометрический методы в обучении математике. Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал. №7 – М.: Издательство ООО «Школьная пресса» 2004. – 78 с.

Овчинникова М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах (общие вопросы): Учебно-методическое пособие для студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание» – К.: Пед.пресса, 001

Пирютко О.Н. Сборник задач по математике: учеб. пособие для 5-го кл. учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / О. Н. Пирютко, О. А. Терешко, В. Д. Герасимов, – Мн.: Адукацыя і выхаванне,2019. – 215. : ил.

Шевкин А.В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики”: Лекции 1 – 4// А.В.Шевкин. М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 88 с.

Скачать

Комментировать