Закон сохранения механической энергии в гидротехнике. Уравнение Бернулли
Одной из форм ЗСМЭ является уравнение Бернулли. Этот закон описывает энергию для установившегося (стационарного) течения несжимаемой жидкости. Эту модель описывает уравнение неразрывности потока:
Для вывода уравнения Бернулли рассмотрим участок стационарно текущей идеальной жидкости (т.е. жидкость без сил внутреннего трения) в трубе, ограниченную сечениямиS1 и S2. В этой трубке течет жидкость слева направо, в сечении S1 скорость жидкости v1, давление p1 и высота, на которой расположена ось сечения трубки h1. Аналогичные обозначения примем для сечения S2. При этом за малой промежуток времени Δt жидкость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям S1’ и S2’.
Согласно ЗСМЭ, изменение полной энергии равно работе всех внешних и внутренних неконсервативных сил по перемещению массы жидкости:
,(1)
где энергии Е1 и Е2 – полная энергия жидкости массой m в сечених S1 и S2 соответсвенно. Для реальных жидкостей характерны завихрения и области различного давления при прохождении по трубе. Работа, совершаемая при перемещении всей жидкости будет:
(2)
Но нужно отметить важное обстоятельство! Почему жидкость перемещается в трубке? Причиной этому является разница давлений между сечениями S1 и S2’. Причем, если жидкость движется к сечениюS2, то именно в этом сечении давление будет пониженным. Иными словами жидкость перемещается под разностью давлений, а значит в (2) нужно сделать замену:
Кроме того, для перенесения массы m от S1 до S1’ жидкость должна переместиться на растояние , а для переноса жидкости от S2 до S2’ на растояние .
Полные энергии будут складываться из кинетической и потенциальной энергий жидкости:
(3)
.(4)
Подставив (3) и (4) в праивло (1) и приравнивая с (2) получим:
(5)
При установившемся течении объем жидкости, проходящий за единицу времени остается неизменной. Следовательно можно сделать замену:
(6)
Разделив (5) на (6) получаем уравнение Бернулли:
Слагаемые в уравнении имеют различный физический смысл. p – статическое давление (давление на певерхность обтекаемого тела), ρv2/2 – динамическое давление, ρgh – гидростатическое давление.
Решим пару задач для закрепления.
Задача.
Пренебрегая вязкостью жидоксти определите ее массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках водомера Δh, а сечения трубы у оснований манометрических трубок соответсвенно равны S1 и S2. Водомер – устройство для определения расхода жидкостей и газов.
Решение.
При стационарном течении жидкости выполняетсяуравнение неразрывности:
. (1)
Поэтому неважно в какой из частей водомера определять массу протекающей воды при расчетах.
Массовый расход определим как массу воды, протекающей за единицу времени.
(2)
Из уловия (1) ясно, что труба водомера находится в горизонтальном положении. Следовательно h1=h2, а уравнение Бернулии будет:
(3)
Слагаемыеp1 и p2 – статическое давление в столбиках манометрических трубок. Учитывая, что , решим систему уравнений (1), (3) получаем:
ставлю 5 за переход
Подставляем теперь эту величину в (2) и определяем массовый расход воды:
Это простейшее устройство, работа которого основана на уравнении Бернулли. Его можно модифицировать. Различные его модификации могут служить для определения других величин.
Напримертрубка Вентури служит для определения скорости потока жидкости или газа в трубе по разности давлений в манометрических трубках:
В пример можно привести также трубку Прандтля, которую часто используют для определения скорости потока жидкости или газа, например воздуха:
Если предстваить, что масса воздуха стоит неподвижно, а трубку перемещать в этой среде, то можно определить скорость движения устройства. Поэтому их устанавливают на самолеты, подводные лодки и другие аппараты.
Еще один интересный прибор – трубка Пито. Используется для измерения полного давления потока. По нему так же возможно определить пройденный через него объем. Поэтому часто применяют в газопроводах. Трубка Прандтля из себя представляет модернизацию трубки Пито.
Как вы видите все описаные устройства универсальны и взаимозаменяемые. Все они работают по одному принципу, их разнообразие объясняется различными техническими требованиями и условиями эксплуатации.
Домашнее задание.
По горизонтальной трубе в направлении, указанном на рисунке стрелкой, течет жидкость. Разность уровней Δh жидкости в манометрических трубках 1 и 2 одинакового диаметра составляет 8 см. Определить скорость течения жидкости по трубе.
По горизонтальной трубе переменного сечения течет вода. Площади поперечных сечений трубы на разных её участках соответственно равна S1 = 10 см2 и S2 = 20 см2. Разность уровней Δh воды в вертикальных трубках одинакового составляет 20 см. Определить объем воды, проходящей за 1 с через сечение трубы.
Вдоль оси горизонтальной трубки диаметром 3 см, по которой течет углекислый газ (ρ = 7,5 кг/м3), установлена трубка Пито. Пренебрегая вязкостью, определить объем газа, проходящего за 1 с через сечение трубы, если разность уровней в жидкостном манометре составляет Δh = 0,5 см. Плотность жидкости принять равной ρ' = 1000 кг/м3.
