Рассмотрим, чему равна работа, совершаемая силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой т.Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой тот Земли. На расстоянии R(рис. 39) на данное тело действует сила
F=GmM/R2.
При перемещении этого тела на расстояниеdRзатрачивается работа
Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению (рис.39).
Если тело перемещать с расстояния R1 доR2,то затрачивается работа
Из формулы (25.2) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительноконсервативны,аполе тяготения является потенциальным (см. § 12).
Согласно формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.
А = -П = -(П2-П1)= П1-П2.
Из формулы (25.2) получаем
П1-П2= - m(GM/R1 - GM/R2). (25.3)
Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при R2 равной нулю ( lim П2=0приR2). Тогда (25.3) запишется в виде П1= - GmM/R1.Так как первая точка была выбрана произвольно, то
П=-GmM/R.
Величину = П/m,
являющуюся энергетической характеристикой поля тяготения, называют потенциалом.Потенциал поля тяготения —скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы, из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой M, равен
= - GM/R,(25.4)
где R— расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.
Из формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую поверхность (R = const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.
Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом поля тяготения () и его напряженностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т,равна
dA = -тd.
С другой стороны, dA = Fdl(dl—элементарное перемещение). Учитывая (24.1), получим, что
dA = mgdl,
т. е.
mgdl = -md,
или
g = -d/dl.
Величина d/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что
g= - grad, (25.5)
гдеgrad=(d/дx)i+(д/dy)j+(д/dz)k—
градиент скаляра (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) указывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания потенциала.
В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте hотносительно Земли:
гдеR0— радиус Земли.
Так как
P=GmM/R20иg=P/m=GM/R20,
(25.6) то, учитывая условие h<<R0, получим
П=mGMh/R20=mgh.
Таким образом, мы вывели формулу, совпадающую с (12.7), которая постулировалась раньше.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Детлаф А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф. ‒ 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 718 с.
2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие / Т.И. Трофимова. ‒ 3-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 542 с.
3. Ю.А. Барков, Г.Н. Вотинов, О.М. Зверев, А.В. Перминов. КРАТКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2015
