Момент инерции

Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции.Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс nматериальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина rв этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом Rотносительно его геометрической оси (рис.23).

Разобьём цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом rи внешним — r+dr.Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm(так как dr<<r,то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2rhdr.Если — плотность материала, то dm=•2rhdrиdJ = 2r³dr. Тогда момент инерции сплошного цилиндра

но так как R'²h— объем цилиндра, то его масса m = R²h, а момент инерции

J = 1/2R².

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяетсятеоремой Штейнера: момент инерции тела Jотносительно любой оси вращения равен моменту его инерции J_cотносительно параллельной оси, проходящей через центр масс Стела, сложенному с произведением массы mтела на квадрат расстояния амежду осями:

J = J_c + ma².(16.1)

Таблица 1

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т— масса тела).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Детлаф А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф. ‒ 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 718 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие / Т.И. Трофимова. ‒ 3-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 542 с.

3. Ю.А. Барков, Г.Н. Вотинов, О.М. Зверев, А.В. Перминов. КРАТКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2015