Тематические задачи по теме «Конус» (Геометрия, 11 класс)

ТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

ПО ТЕМЕ «КОНУС»

(11 КЛАСС, ГЕОМЕТРИЯ)

Автор разработки:
Попов Дмитрий Сергеевич

г. Горловка, 2024 г.

11 КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ

Тема 1. Понятие конуса

Задача 1. Образующая конуса равна 17 см, а высота равна 15 см. Найдите радиус этого конуса.

Задача 2. Образующая конуса равна 10 см, а диаметр 12 см. Найдите высоту конуса.

Задача 3. Радиус конуса равен 5 см, а высота 12 см. Найдите образующую этого конуса.

Задача 4. Высота конуса равна радиусу основания. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса. Ответ дайте в градусах.

Задача 5. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, сторона которого равна 20 см. Найди: а) радиус конуса; б) высоту конуса.

Задача 6. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, высота которого равна см. Найдите длину основания конуса.

Задача 7. Через две образующие конуса, угол между которыми равен , проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания равен R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом .

Задача 8. В усеченном конусе высота равна 5 см, его образующая образует с плоскостью нижнего основания угол 60° и перпендикулярна к диагонали осевого сечения, проходящей через верхний конец образующей. Найди площадь этого сечения.

Задача 9. Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса, у которого диагонали перпендикулярны, а высота равна 9 см.

Задача 10. В элементах архитектуры очень часто встречается конус. Проектируя различные объекты, архитекторы нередко прибегают именно к конусовидным конструкциям. Ярким примером является конус, который лежит в основании крыш домов, соборов и башен. Особенно часто коническая форма использовалась при строительстве средневековых церквей и замков. Но и в современном мире очень много конструкций, которые представляют собой форму конуса. Спасская башня – самая красивая и знаменитая башня Московского кремля. Она имеет 10 этажей. Высота башни без звезды 67,3 метра, а высота башни со звездой 71 метр. Вычислите высоту звезды этой башни.

Задача 11. В повседневной жизни широко применяются изделия, которые имеют форму конуса. В переводе с греческого «konos» означает сосновая шишка. Действительно, шишка внешне похожа на конус. С предметами, имеющими форму конуса, мы сталкиваемся каждый день, это цветочные горшки, вёдра, вафельные рожки для мороженого и т.д. Самый большой вафельный рожок для мороженого был изготовлен в Италии, его высота составила 2,81 метра. Вычислите диаметр этого рожка, если его образующая равна 4 метра. Ответ округлите до десятых.

Задача 12. На фабрике по изготовлению конфет «Шоколад Донбасса» решили выпустить 100 подарочных коробок трюфельных конфет, в каждой коробке по 7 штук. Все конфеты имеют форму конуса. Строго по середине (по осевому сечению) конфеты пропитывают женьшеневым сиропом. Определите сколько нужно приготовить сиропа на все конфеты, если на 1 квадратный сантиметр площади пропитки требуется 0,5 грамма сиропа. Высота готовой конфеты 4 см, а диаметр основания конфеты 6 см.

Задача 13. Вычисли площадь сечения конуса, плоскостью, проходящей через вершину конуса и пересекающей плоскость основания на расстоянии 8 см от центра основания, если высота конуса равна 15 см, а площадь основания конуса равна 100.

Тема 2. Усечённый конус

Задача 1. Вычисли площадь осевого сечения усечённого конуса с радиусами оснований
4 см и 5 см, если образующая равна , а угол между ней и нижним основанием усеченного конуса равен 45°.

Задача 2. В усеченном конусе сумма площадей оснований равна 45, причём . Вычисли площадь сечения данного конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса и проходящей ровно в её середине. В ответе запишите .

Задача 3. Вычисли площадь полной поверхности усечённого конуса, если его образующая равна диаметру большего основания d = 10, а радиус меньшего основания в 2,5 раза меньше радиуса большего основания (.

Задача 4. Площадь осевого сечения усеченного конуса равна 32, а высота данного сечения равна 4. Вычисли площадь полной поверхности усеченного конуса, если его образующая наклонена к плоскости нижнего основания под углом 45°, а разность диаметров нижнего и верхнего основания равна 8 (.

Задача 5. Прямоугольную трапецию АВСD с основаниями ВС = 7 и AD = 16, вращают вокруг стороны СD, содержащей прямой угол. Вычисли площадь полной поверхности полученного тела вращения, если CD = .

Задача 6. На день рождения директора школы ученики испекли трёхъярусный торт. Основания самого нижнего яруса имеют радиусы 25 см и 15 см. Каждый следующий ярус отличается от предыдущего тем, что радиус его верхнего основания на 5 см меньше, причём образующая каждого яруса покрывают перламутровой глазурью. Определите, сколько пакетиков желатина потребуется на изготовление глазури, если 1 пакетик используется для изготовления 200 г глазури, чего хватает на покрытие 0,015 м² торта. При решении задачи учитывайте, что . Ответ округлите до целого числа.

Задача 7. Равнобокая трапеция АВСD с основанием АD и BC является осевым сечением усечённого конуса. Вычислите объём данного конуса, если ВС = 6 см, AD = 8 см,
AB = см, а .

Тема 3. Площадь поверхности конуса

Задача 1. В конусе, которые получился вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, найдите длину образующей, если АВ = 4, а ВС = 3.

Задача 2. Вычисли площадь полной поверхности конуса, если радиус основания конуса равен 4, а длина образующей конуса равна 7, а .

Задача 3. Вычисли длину образующей конуса, если площадь его полной поверхности равна 48, а радиус основания конуса равен 2, а .

Задача 4. Как изменится площадь полной поверхности конуса, если образующая конуса и радиус основания увеличить в 4 раза?

Задача 5. Как изменится площадь полной поверхности конуса, если образующая конуса и радиус основания уменьшить в 2 раза?

Задача 6. Равнобедренный треугольник с боковой стороной равной 7 см и углом при основании 45° вращают вокруг основания. Найди площадь поверхности полученной фигуры.

ОТВЕТЫ:

Тема 1. Понятие конуса

Тема 2. Усеченный конус

Тема 3.