Сборник задач по комбинаторике и теории вероятностей.
Выполнил: учитель математики первой квалификационной категории Столярчук Лилия Геннадьевна МБУ «Лицей №67» го Тольятти
2017 г
Пояснительная записка
По вопросам реформирования и модернизации нынешнего школьного математического образования существует множество весьма различных мнений. При этом среди вопросов о содержании школьной математики никто не подвергает сомнению необходимость включения стохастической линии в школьный курс, поскольку именно изучение и осмысление теории вероятностей и стохастических проблем развивает комбинаторное мышление, так нужное в нашем перенасыщенном информацией мире.
Актуальность задач:
Комбинаторика представляет собой своеобразный раздел математики, нужный для успешного решения вопросов алгебры и других математических дисциплин. Однако наибольшее применение этого раздела находит себе место в теории вероятностей, науке, изучающей законы массовых явлений, каждое из которых в отдельности определяется условиями, не поддающимися учёту, и которые называются «случайными». Теория вероятностей давно уже приобрела столь большое значение, что много раз поднимался вопрос о включении её элементов в курс математики средней школы.
В настоящее время теория вероятностей завоевала очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Ее законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, лингвистика, философия основаны и развиваются на вероятностно - статистической базе. Чтобы наши дети были успешны в этом сложном, постоянно меняющемся мире, нам надо развивать у них вероятностно - статистическое мышление, т.е. умение анализировать и обрабатывать неполную и противоречивую информацию, чтобы в дальнейшем делать правильные выводы и прогнозы и принимать обоснованные решения.
Изучение комбинаторики и элементов теории вероятностей сейчас наиболее актуально, так как задачи по данной теме включены в ОГЭ за 9 класс, а как такового изучения темы ещё не было отработано. Современный учитель математики пока делает ещё неуверенные шаги по пути теории вероятностей.
Цели и задачи предлагаемого сборника:
1) формирование специального типа мышления — комбинаторного;
2) формирование у учащихся видов деятельности, связанных с перебором и подсчетом числа конфигураций элементов, удовлетворяющих определенным условиям;
3) повышение интеллекта учащихся;
4) привитие профессионального интереса к занятиям комбинаторики как науки;
5) расширение кругозора учащихся;
6) формирование коммуникативной компетентности самосовершенствования: осуществлять самоконтроль, рефлексию;
7) формирование интеллектуальных умений: сопоставлять и сравнивать объекты, проводить аналогии, формировать критичность мышления, опыт творческой деятельности;
8) углублённое изучение школьного курса математики.
Знания, умения и навыки при изучении курса «Комбинаторика и теория вероятностей».
Знать:
чем занимается комбинаторика и теория вероятностей;
чем обусловлено появление комбинаторики и теории вероятностей;
этапы их развития;
каковы основные проблемы комбинаторики и теории вероятностей;
понимать алгоритмы решения;
выводить формулу для подсчёта числа размещений, перестановок и сочетаний.
Уметь:
вывести формулы классической комбинаторики;
решать простейшие задачи с помощью этих формул;
решать простейшие задачи на классическое и геометрическое определения вероятности.
Ожидаемые результаты:
Учащиеся должны:
правильно употреблять новые термины;
знать основные формулы и теоремы;
уметь решать задачи как по алгоритму, так и без него, комбинированным методом, аргументировано объясняя каждый шаг;
повысить уровень математической грамотности.
Задача №1
Сколько можно составить сладких наборов по 3 шоколадки и 2 зефира из 9 различных шоколадок и 6 различных зефиров?
Задача №2
Сколько различных слов можно составить из букв слова «МАТЕМАТИКА»?
Задача №3
Девушка и юноша договорились о встрече с 14.00 до 15.00. Договорились, что каждый, пришедший первым, ждет другого не более 10 минут. Определите вероятность встречи.
Задача №4
Контролер в партии из 20 деталей наугад выбирает 5 деталей для проверки. Если среди выбранных деталей нет ни одной бракованной, то он принимает всю партию. Какова вероятность того, что контролер примет партию деталей, содержащую 7 бракованных?
Задача №5
В 11 классе три ученика, независимо друг от друга, решают задачу по теории вероятности. Вероятность того, что первый ученик не справится с задачей составляет 0,1, второй-0,3, а третий-0,2. Найдите вероятность того, что:
никто не решит задачу;
все решат задачу;
двое решат задачу;
хотя бы один не решит задачу;
хотя бы один решит задачу;
только один не решит задачу.
Задача №6
На четырех карточках написаны буквы: О, Т, И, П, Л. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и
положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ПИЛОТ»?
Задача №7
Товарищ должен прийти на встречу с другом в промежутке времени от 15.00 ч до 15 ч 30 минут. Найдите вероятность того, что встреча произойдет с 15 ч 10 минут до 15ч 20 минут.
Задача №7
Программа экзамена содержит 40 вопросов. Студент Михаил знает ответы на 30 из них. Каждому студенту предлагают 2 вопроса, которые выбираются случайным образом. Какова вероятность, что студент Михаил ответит на оба вопроса?
Задача №8
В школьной столовой испекли 80 пирожков, из них 20 с яблоками. Ученик наудачу покупает 6 пирожков. Какова вероятность того, что у него 4 пирожка с яблоками?
Задача №9
Внутри окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной 6 взята точка. Найдите вероятность того, что точка:
лежит внутри треугольника;
лежит внутри окружности, вписанной в треугольник;
лежит вне треугольника;
лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.
Задача №10
Сколькими способами могут сесть пять СМЕШАРИКов в космический корабль, если каждый из них может быть пилотом?
Задача №11
Сколькими способами можно выбрать трех ответственных за праздник , посвященный 9МАЯ, из класса, в котором 20 человек?
Задача №12
Сколькими способами филателист может выбрать три марки из пяти, предложенных продавцом?
Задача №13
Сколькими способами можно разложить 12 различных игрушек по трем ящикам.
Список литературы:
1. Макарычев Ю.Н. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2012.
2. Спирина М.С., Спирин П. А. «Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач»- Москва: Академия, 2014
3. Афанасьев, В.В., Суворова, М.А. «Школьникам о вероятности в играх. Вве дение в теорию вероятностей для учащихся 8 – 11 классов» - Ярославль: Академия развития, 2006.
4. Журналы «Математика в школе» №6, №7 2004
5. Письменный, Д.Т. «Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам» - М.: Айрис-пресс, 2008.
.png)
