Технологическая карта:"Решение комбинаторных задач"

Цели урока

Образовательная цель: дать специальное название одному из видов комбинаций – перестановки, рассмотреть формулу для вычисления числа перестановок, ввести понятие факториала.

Развивающая цель: способствовать формированию логического мышления учащихся при решении задач и развитию монологической речи обучающихся с использованием новых терминов.

Воспитательная цель: приучать школьников к доброжелательному общению в паре.

Оборудование: учебник (1), дидактические материалы (2), Рисунок 1, Рисунок 2. Продолжительность занятия: 2 академических часа

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка готовности класса к уроку. Постановка целей урока.

II. Повторение

Учитель. Давайте повторим решение комбинаторных задач с помощью построения специальной схемы – дерева возможных вариантов и правила умножения.

Задание 1

Антон, Борис и Василий купили три билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?

Решение (с помощью дерева вариантов). Приложение 1

Ответ: 6.

Решение (с помощью правила умножения). На 1-е место может сесть любой из трёх друзей, на 2-е – любой из двух оставшихся, а на 3-е – последний. По правилу умножения у троих ребят существует 3*2*1 = 6 способов занять имеющиеся места.

Учитель. Перед введением понятия перестановки нам необходимо узнать ещё один новый термин. Название нового термина вы узнаете, если решите примеры.

Задание 2

Ответы замените буквами (смотрите на циферблат часов). Приложение 2

III. Новый материал

Учитель. Итак, новый термин – факториал. Что же это такое?

Определение Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как “эн факториал”), т.е.

n!=1*2*3*…*(n-1)*n (записать формулу в тетрадь).

(Перед тем, как вводить понятие и формулу перестановок, желательно, чтобы учащиеся освоились с понятием факториала. Для этого выполнить следующее задание 3).

Задание 3

Вычислите (устно):

а) 4! = 1*2*3*4 = 24; 
б) 5! = 1*2*3*4*5* = 120;
в) 4! + 5! = 1*2*3*4 + 1*2*3*4*5 = 24+120 = 144; 
г) 5*4! =5* 1*2*3*4 = 5! = 120;
(письменно): д) 4! * 5! = 1*2*3*4 *1*2*3*4*5 = 24 * 120 = 2880;

е) ;

ж)==;

з) ;

и) ; к) .

Учитель. Принято считать: 1!=1, 0!=1.

Факториалы растут удивительно быстро. Вы можете понаблюдать за их изменением, рассмотрев таблицу в учебнике, в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10:

А значение выражения 15!, которого нет в таблице, превосходит 10¹⁵, а именно 15!=1 307 674 368 000. Может быть, именно из-за быстрого роста факториалов восхищенный изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак.

В задании 1 были подсчитаны всевозможные комбинации из четырех элементов. Чем отличаются полученные комбинации? (Ответ: полученные комбинации отличаются только порядком элементов). Такие комбинации называют перестановками из четырех элементов.

Если элементов будет 5, то, рассуждая аналогично (попросить кого-либо из семиклассников провести эти рассуждения), получаем, что число перестановок из 5 элементов равно 5*4*3*2*1=60, из 10 элементов число перестановок равно 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Определение: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называют перестановками из n элементов. (иначе: “Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой”.)

(Учащимся: определение “перестановок из n элементов” записать в тетрадь, выучить, рассказать соседу по парте/)

Учитель. Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок, которую можно сформулировать так: сколькими способами можно переставить n различных предметов, расположенных на n разных местах?

Решение этой задачи выглядит так.

Возьмем n местных корзинок, в которые будем укладывать n разных предметов. В первую корзину можно положить один из n предметов, во вторую – один из n-1 оставшихся и т.д., вплоть до последней корзинки, в которую можно единственным образом уложить оставшийся предмет. По правилу произведения (умножения) получаем n*(n-1)*…*1= n! способов, т.е. число перестановок из n элементов равно n!

Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают

P_n (P – первая буква французского слова permutation – перестановка). Читается: “Число перестановок из эн элементов” или “Пэ из эн”.

В задании 1 было показано P₄ = 4*3*2*1 = 1*2*3*4 (по переместительному свойству умножения).

P_n=1*2*3*…*n (1)

т.о., число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

При использовании символа n! формула (1) принимает вид P_n= n!

(Учащимся: правило нахождения перестановок из n элементов записать в тетрадь словами и формулой, выучить, рассказать соседу по парте).

Примеры 1, 2, 3 учащиеся изучают самостоятельно [1]:

Пример 1. В расписании 7 класса на четверг должно быть 6 предметов: русский язык, литература, алгебра, география, физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

Решение. Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из шести элементов: P₆=6!=1*2*3*4*5*6=720.

Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание из тех же 6 предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним?

Решение. У урока физкультуры фиксированное место, поэтому расписания отличаются порядком остальных 5 предметов. Значит, число таких расписаний равно числу перестановок из 5 элементов: P₅=5!= 120.

Пример 3. Сколькими способами из тех же 6 предметов можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом?

Решение. Будем рассматривать русский язык и литературу как один предмет, тогда всего предметов будет пять. Число способов, которыми можно составить расписание из 5 предметов, равно P₅=5!. Но в каждой из этих перестановок русский язык и литература могут меняться местами. Поэтому искомое число расписаний вдвое больше. Оно равно 5!*2=240.

IV. Закрепление

(Задачи на нахождение перестановок решали раньше, но без использования термина и формулы (см. задачу 1/)

При решении следующих заданий не следует сразу требовать от учащихся готовый ответ, полученный по формуле перестановок. Полезнее сначала получить этот ответ с помощью подробных рассуждений.

Обращать внимание учащихся при решении задач на следующие факты:

1) в задачах на перестановки используются все элементы данного набора элементов;

2) две перестановки одного набора элементов отличаются друг от друга только порядком элементов).

Задание 4

Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии 30 учеников? Решение. P₃₀ = 30!

Задание 5

Сколько различных 5-значных чисел, все цифры которых различны можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7, 8?

Решение. Задача сводится к подсчету числа перестановок из 5 элементов. P₅ = 1*2*3*4*5 = 120. Ответ: 120 различных чисел.

Задание 6

Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение: первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов: P₇ = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040. Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно менять местами, потому общее число способов расстановки книг на полке будет в 2 раза больше, т.е. 5040 * 2 = 10080. Ответ: 10080 способов.(стр. 47 МШ - 3 - 2003).

Задание 7

У Атоса, Портоса и Арамиса на всех имеется одна шпага, один кинжал и один пистолет. Сколько у них способов распределить оружие так, чтобы все были вооружены?

Решение. Мушкетёров выстроим в шеренгу и отдадим каждому один из видов оружия. Тогда из шпаги, кинжала и пистолета необходимо составить различные перестановки, т. е. P₃ = 3! = 1 = 6.

Задание 8. Четыре лектора должны прочитать по одной лекции. Сколько имеется вариантов составления расписания?

Решение. P₄ = 4! = = 24

Задание 9. Капитан Жеглов рассматривает фотографии. Всего их у него 25. Сколько существует различных последовательностей их рассматривания?

Решение. P₂₅ = 25!

Задание 10 У мамы есть один апельсин, одна груша, одно яблоко и один банан. Она хочет раздать их четверым детям так, чтобы каждому достался какой-нибудь фрукт. Сколько имеется вариантов это сделать?

Решение. P₄ = 4!=24.

Задание 11. Напомним, что анаграмма – это слово, полученное из данного слова перестановкой его букв (но не обязательно имеющее смысл). Сколько существует различных анаграмм слова а) график; б) интеграл; в) факториал; г) перестановка; д) комбинаторика?

Решение. а) 6! = 720; б) 8! = 40 320; в) указание: временно считайте две буквы “а” различными буквами (обозначьте их “а₁” и “а₂”) и сосчитайте все возможные анаграммы; далее учтите, что те анаграммы, которые получаются перестановкой букв “а₁” и “а₂”, на самом деле одинаковы; ;

г) 12!:2:2 (по две “е”, “а”);

д) 13!:2:2:2:2 (по две “к”, “и”, “о”, “а”).

IV. Повторение основных понятий темы “Перестановки”

Что называется перестановкой из n элементов?

Сколько элементов данного набора используются в перестановках?

Чем отличаются друг от друга две перестановки одного набора элементов?

Каким символом обозначаются перестановки из n элементов?

Назовите формулу перестановок из n элементов?

V. Проверочная работа по теме “Перестановки” [2]

Вариант 1

50 депутатов парламента рассаживаются в зале заседаний, в котором 50 мест. Сколько у них есть вариантов это сделать? (Решение. 50!)

Упростите выражение  (Решение. 14).

3^*. У мамы есть три конфеты: “Грильяж”, “Белочка” и “Мишка на севере”. Сколько у нее способов дать каждому из троих детей по одной конфете так, чтобы конфета “Грильяж” не досталась младшему?

(Решение. Первоначально объединим “Грильяж” и “Белочку” в одну конфету и распределим две конфеты (“Грильяж-Белочка” и “Мишка”) между старшим и средним ребенком. Число способов, которыми можно разделить конфеты между двумя детьми, равно P₂=2!=2. А далее ребенок, которому досталось две конфеты, отдаст одну из двух младшему. Таким образом, получим, что разделить конфеты между детьми можно 2!*2=4 способами.

Ответ: 4 способа.)

Вариант 2

200 солдат строятся в шеренгу. Сколько имеется вариантов это сделать? (Решение. 200!)

Упростите выражение  (Решение. 1).

3^*. У мамы есть три шоколадки: “Марс”, “Баунти” и “Сникерс”. Сколько у нее способов дать каждому из троих детей по шоколадке так, чтобы “Марс” не достался старшему?

(Решение. Первоначально объединим “Сникерс” и “Баунти” в одну шоколадку и распределим две шоколадки (“Марс” и “Сникерс-Баунти”) между средним и младшим ребенком. Число способов, которыми можно разделить шоколадки между двумя детьми, равно P₂=2!=2. А далее ребенок, которому досталось две шоколадки, отдаст одну из двух старшему. Таким образом, получим, что разделить шоколадки между детьми можно 2!*2=4 способами.

Ответ: 4 способа.)

* – задание повышенной сложности, можно оценить отдельной отметкой.

VI. Подведение итогов урока

(Повторение основных понятий, см п. V.)

Домашнее задание: п. 6.4 (записи в тетради), № 612 (обратить внимание при решении задачи: все ли элементы набора используются и чем отличаются наборы элементов друг от друга),

а) В конкурсе участвуют 8 школьников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними? (Решение. 8! = 40 320).

б) Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов? (Решение. 7! = 5 040).

в) Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг? (Решение. 10! = 3 628 800).

доп. № 619 ( представить, что всего 4 книги одного автора; подумать,сколькими способами можно их расставить; затем считать эти 4 книги одной книгой и добавить к ним оставшиеся книги; продолжить аналогичные рассуждения).

Сколькими способами можно расставить на полке 10 книг, из которых 4 книги одного автора, а остальные – разных авторов, так, чобы книги одного автора стояли рядом? (Решение. 7! * 4!).

Литература

Алгебра: учеб. для 7 класса общеобразоват. учреждений (Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева) под ред. Г.В. Дорофеева. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2006.

Евстафьева Л.П., Карп А.П. Алгебра: дидактические материалы для 7 класса общеобразовательных учреждений. М. Просвещение, 2006 (стр.65, О - 30, стр.131, П – 49).

Кадилова С.М., Колесникова Т.В., Тернопол А.Н. Математика. 7 кл.: Метод. Пособие к учеб. комплекту под редакцией Г. В. Дорофеева. М., Дрофа, 2000.

Математика в школе № 3, 2003 год. Научно-теоретический и методический журнал (стр. 36, М. В.Ткачёва, Н. Е. Фёдорова “Элементы стохастики в курсе математики VII – IX классов основной школы”).

Математика № 26, 2001 год. Учебно-методическая газета (стр. 9, Ш. Цыганов “Комбинаторика от А до Я”).

Перькова О.И., Сазанова Л.И. Математический паноптикум, Псков