Неевклидова Геометрия

Проект на тему:

Неевклидова геометрия

Выполнил:

Иванов Сергей Юрьевич

Учитель математики:

Холостова Антонина Валерьевна

Оглавление

Введение

В настоящее время геометрия широко применяется в самых разных областях: физике, химии, биологии и т.д. Неоценимо ее значение в прикладных науках: машиностроении, геодезии, картографии. Геометрия – часть нашей жизни. Но так было не всегда. Становлении геометрии как математической науки произошло позднее и связано с именами греческих ученых Фалеса (625 – 547 гг. до н.э.), Пифагора (580 – 500 гг. до н.э.), Демокрита (460 – 370 гг. до н.э.), Евклида (III век до н.э.) и др. [4]

В знаменитом сочинении Евклида «Начала» был развит аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе посредством рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы). Сегодня мы используем большинство этих аксиом при решении задач. Много вопросов было по поводу пятого постулата, формулировку которого обычно заменяют аксиомой параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Много веков усилия большого числа ученых были направлены на доказательство данного утверждения, у некоторых математиков возникала мысль о невозможности доказательства пятого постулата. Решение этого вопроса было найдено великим русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792—1856). Более того, он сделал замечательный вывод: можно построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. И такая геометрия была построена – геометрия Лобачевского. Но возникает вопрос: после открытия геометрии Лобачевского применяется ли она в современной жизни? Ведь мало кто слышал о его геометрии, а если и слышал, то не знает истинного ее применения.

Объект исследования – Неевклидова геометрия.

Предмет исследования – применение неевклидовой геометрии в окружающем мире.

Цель исследования: изучить возможности применения неевклидовой геометрии в жизни.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- изучить и проанализировать учебную литературу, связанную с жизнью Лобачевского;

- ознакомиться с особенностями его теории;

- рассмотреть применение неевклидовой геометрии в современной жизни.

Была выдвинута гипотеза: применение геометрии Лобачевского не ограничивается математикой, она используется в других науках, в окружающем нас мире.

Раздел 1 Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии.

Всем известно, что наука не вчера была изобретена – еще в древние времена выдающиеся умы открывали различные теоремы, теории, создавали новые элементы. Особым почетом пользовалась математика и астрономия. В этих науках преуспели греки и египтяне.

Сейчас невозможно представить себе математику без теоремы Пифагора, без знаменитого открытия Архимеда в ванной. Был еще один грек, который внес ощутимый вклад в науку в целом. Его имя – Евклид.

Евклид (325 г. до н. э. – 265 г. до н. э.) — греческий математик. Он считается «отцом геометрии». Его учебник оставался весьма востребованным и точным пособием по математике до конца 19-го века и является одним из наиболее широко опубликованных книг в мире. Но что же можно сказать про самого автора? К сожалению, немного.

Евклид — первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» (Στοιχεῖα, в латинизированной форме — «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других его сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид — автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя бы в малейшей степени способствовать развитию математических наук.

Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала» Аполлония. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает :

Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…

С именем Евклида также связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры), как науки. В целом количество данных о Евклиде настолько скудно, что существует версия (правда, малораспространённая) что речь идёт о коллективном псевдониме группы александрийских учёны.

Раздел 2 Неевклидова геометрия

Кроме геометрии, которую изучают в школе ( Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского.

Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180°. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.

Неевклидова геометрия появилась в следствии долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности.

И одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского (1792-1856) был как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский он был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания. В своем сочинении “О началах геометрии”, являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: “первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить”.

Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад “Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных”. В докладе были изложены начала открытой им “воображаемой геометрии”, как он называл систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии.

К концу XIX века математики разделились на два лагеря. Одни сразу приняли результаты Лобачевского и стали дальше развивать его идеи. А другие так и не смогли отказаться от веры, что геометрия Лобачевского описывает что-то несуществующее, то есть геометрия Евклида единственно верная и ничего другого быть не может. К сожалению, к числу последних относился и математик, больше известный как автор «Алисы в стране чудес», — Льюис Кэрролл. Его настоящее имя Чарльз Доджсон. В 1890 году он опубликовал статью под названием «Новая теория параллельных», где защищал исключительно наглядную версию пятого постулата. Аксиома Льюиса Кэрролла звучит так: если в круг вписать правильный четырехугольник, то площадь этого четырехугольника будет строго больше, чем площадь любого из сегментов круга, лежащих вне четырехугольника. В геометрии Лобачевского эта аксиома неверна. Если мы возьмем достаточно большой круг, то, какой бы четырехугольник мы в него ни вписали, какие бы длинные стороны у этого четырехугольника ни были, площадь четырехугольника будет ограничена универсальной физической постоянной. Вообще наличие физических констант и универсальных мер длины — это выгодное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Какие ассоциации может вызывать словосочетание «неевклидова геометрия». Например: это что-то из космоса; это когда параллельные прямые пересекаются; это так сложно, что лучше об этом не думать. Но на самом деле неевклидова геометрия присутствует в нашей жизни постоянно.

Есть разные математические, геометрические, физические аспекты, и о некоторых из них постараюсь вам рассказать, начав с образа, который известен, по картинкам из журнала «Квант». Рисунки Эшера, которые назывались «Предел круга» или «Руки, которые рисуют одна другую». Это визуализация неевклидовой геометрии. Помните, как выглядят руки, которые рисуют одна другую? Рука держит карандаш и рисует другую руку, которая рисует первую. В результате появляется замкнутый цикл, который в словах можно выразить примерно так: «Я знаю, что ты знаешь, что я знаю» или «Я оглянулся посмотреть, не оглянулась ли ты, чтоб посмотреть, не оглянулся ли я».

Приведем некоторые примеры неевклидовой геометрии вокруг нас:

Раздел 3 Неевклидова геометрия в природе.

3.1. Лист салата

Где подобное можно найти в природе? Давайте вспомним, как выглядит лист салата или вообще как выглядят разные листы. В частности, если возьмете лист салата, то вы не сможете его уложить плоско, если вы попытаетесь его разгладить на плоскости, у вас ничего не получится — он все время будет топорщиться. Это происходит из-за того, что клетки, которые находятся на периферии, которые находятся на границе листа, растут так, что их рост ничем не ограничен, они не знают, что они должны расти так, чтобы находиться в плоскости. Как у нас растет периметр круга? С удалением от центра он растет пропорционально радиусу. Клетки об этом не знают, они делятся так, как они хотят. Возможно, визуальный образ, который при этом возникает, такой: представьте себе, что у вас имеется диск и есть разрез в этом диске. Вы раздвинули границы диска, и в результате получилось, что периметр у вас оказался больше, чем это было бы, если бы он был 2πr . В результате, куда уходит лишний материал? Он уходит в третье измерение. Именно поэтому лист нельзя уложить в пространстве. Именно поэтому он топорщится оттуда. Но почему клетки не делятся внутри? Дело в том, что существует механизм, который называется «ингибирование под давлением». Клетки, которые находятся внутри листа, не делятся, а клетки, находящиеся на периферии, делятся произвольно, и в результате образуются такие складки.

3.2. Кораллы

Геометрия Лобачевского проглядывается в структурах кораллов, в организации клеточных структур у растении, в архитектуре, у некоторых цветков и так далее.

Маргарет Вертхейм возглавляет проект по воссозданию обитателей кораллового рифа, используя технику кроше (вязания крючком), изобретённую математиком — прославляя удивительность кораллового рифа, и погружаясь в гиперболическую геометрию, которая лежит в основе создания коралла.

Заключение

Геометрия Лобачевского – геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных прямых, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Данная теория совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности вогнутой поверхности, напоминающей седло (гиперболического параболоида).

В ходе работы:

•мы изучили учебную литературу;

•познакомились с особенностями теории неевклидовой геометрии;

•рассмотрели применение неевклидовой геометрии в современной жизни.

Сам Лобачевский пытался рассмотреть свою теорию в рамках геометрии (пятого постулата), но другие области нашей жизни активно используют положения его теории. Это и физика, и астрономия, и искусство (живопись и архитектура), и игровая индустрия. Задача современного человека – повышение уровня своего образования, изучать новое и видеть применение полученных знаний. Надеемся, что учащиеся, услышав о геометрии Лобачевского, заинтересуются этим вопросом, оглянутся вокруг, смогут объяснить какие-либо явления, а возможно, и сделают открытие.

Таким образом, цель работы достигнута, задачи выполнены, гипотеза подтверждена.

Список литературы

45 параллель [Электронный ресурс] // Хризантемы – лепестков протуберанцы. – URL: https://45parallel.net/hrizantemy_lipestkov_protuberantsy

Blogger [веб-сервис] // Искусство. – URL:http://olgasycheva31.blogspot.ru/2013/08/blog-post_7432.html

Steam [Электронный ресурс] // Руководство по HyperRogue. – URL: http://steamcommunity.com/sharedfiles/filedetails/?id=401559432

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. – Геометрия, 7 – 9 классы. – М.: Просвещение, 2010.

Википедия [Электронный ресурс] // Угол параллельности. – URL:https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE#/media/File:Hyperbolic.svg

Википедия [Электронный ресурс]//Геометрия Лообачевского. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE

Лента.ру [Электронный ресурс] // Что такое голографическая Вселенная? – URL:https://lenta.ru/articles/2015/05/10/hologram/

Официальный сайт факультета физики, математики и информатики Ивановского университета [Электронный ресурс] //
Геометрия Лобачевского – вокруг нас! – URL:http://math.ivanovo.ac.ru/school/j/lobach/lobachevsky.html

Публикации Хабрахабр [Электронный ресурс] // Жизнь на плоскости Лобачевского. – URL: https://habrahabr.ru/post/168421/

Строительство. Архитектура [Электронный ресурс] // Геометрия Лобачевского. – URL: http://www.apxu.ru/article/geoforma/whatt/geometria_loba4evckogo.htm

Фонд поддержки современного искусства [Электронный ресурс] // Неевклидова геометрия архитектуры. – URL: http://www.fondartproject.ru/artprocess/neehvklidova-geometrija-arkhitektury/