Разработка урока по геометрии 9 класс по теме Свойства скалярного произведения

Урок: Свойства скалярного произведения векторов Класс: 9-й
Тема: Свойства скалярного произведения векторов

Цели урока:

Дать определение скалярного произведения векторов.

Рассмотреть свойства скалярного произведения векторов.

Научить применять свойства скалярного произведения в задачах.

Развивать логическое мышление через решение задач.

План урока:

1. Организационный момент (2-3 минуты)

Приветствие учащихся.

Проверка готовности к уроку.

2. Актуализация знаний (5-7 минут)

Обсуждение базовых понятий:

Что такое вектор?

Направленный отрезок, характеризуемый модулем и направлением.

Какие операции над векторами мы уже изучали?

Сложение, вычитание, умножение на число.

3. Изучение нового материала (15 минут)

Определение скалярного произведения:

Скалярное произведение двух векторов a⃗ и b⃗определяется как: a⃗⋅b⃗ =∣a∣⋅∣b∣⋅cosα,

где ∣a⃗∣ и ∣b⃗∣ — модули векторов, а α — угол между ними.

Смысл скалярного произведения: это число, показывающее степень "параллельности" векторов.

Если α=90∘, то a⃗⋅b⃗ = 0(перпендикулярные векторы).

Если α=0∘, то a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗

Свойства скалярного произведения:

Коммутативность: a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗.

Распределительный закон: a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗.

Умножение на число: (ka⃗)⋅b⃗=k(a⃗⋅b⃗), где k — число.

Квадрат длины вектора: a⃗⋅a⃗=∣a⃗^∣2.

4. Примеры применения (10 минут)

Пример 1:
Найдите скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗, если ∣a⃗∣=5, ∣b⃗∣=3, угол между ними 60∘

Решение: a⃗⋅b⃗=5⋅3⋅cos60∘=15⋅0,5=7,5

Пример 2:
Докажите, что векторы a⃗=(2,3) и b⃗=(−3,2) перпендикулярны.

Решение: a⃗⋅b⃗=2⋅(−3)+3⋅2=−6+6=0 Значит, a⃗⊥b⃗

Пример 3:
Найдите длину вектора a⃗=(4,−3)

Решение: a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣²=4²+(−3)²=16+9=25  ⟹  ∣a⃗∣=5

5. Практическая работа (15 минут)

1).Найти скалярное произведение:

a⃗=(1,2),b⃗=(3,4)

a⃗=(5,0),b⃗=(0,−7)

2).Доказать, что векторы перпендикулярны:

a⃗=(2,−1), b⃗=(1,2)

3).Найти длину вектора:

a⃗=(−6,8)

6. Итоги урока (5 минут)

Подведение итогов:

Что такое скалярное произведение?

Какие свойства скалярного произведения вы запомнили?

В каких случаях a⃗⋅b⃗=0?

Домашнее задание:

Вычислить скалярное произведение для нескольких пар векторов.

Решить задачу из учебника (указать номер).

Конец формы