Как научиться решать задачи

Как научиться решать задачи.

Начиная работать с ребятами в 5 классе, часто слышишь: «Я люблю решать задачи». Действительно многие любят решать задачи, но очень немногие из них умеют решать их.

Как же научиться решать задачи? Некоторые задачи успешно решаются всеми учащимися, а какие -то решаются немногими учениками.

Какие задачи решаются успешно? Конечно, если учитель объяснил, то пожалуй ученик сможет решить похожую задачу. Это шаблонные задачи и большинство их решают. А вот нестандартные задачи вызывают затруднения.

Для решения таких задач необходимо прежде всего - уметь думать, догадываться и иметь опыт в решении необычных задач; полезно владеть и определенными общими подходами к решению.

Нестандартные задачи в какой- то степени неповторимы. Ученик должен научиться мыслить и управлять своей математической мыслительной деятельностью не только при решении задач, но и при изучении математики в целом, научиться понимать силу и красоту математики.

Многие из учеников считают, что решить задачу дать правильный ответ на вопрос задачи. Так ли это?

Как же помочь учащимся научиться решать нестандартные задачи? Каковы же методы обучения решению задач по математике, которые на данный момент ее решения можно назвать нестандартными?

Методы решения нестандартных задач

Методы: арифметический; алгебраический; графический; практический; метод предположения; метод перебора.

Универсального рецепта, к сожалению, никто не придумал, учитывая уникальность данных задач. Очень часто учителя, «натаскивают» на решение с помощью шаблонных упражнений. Происходит это следующим образом: учитель показывает способ решения, а затем ученики повторяют это при решении задач многократно. Такой способ убивает интерес учащихся к математике. Владение приемами их решения можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Этапы решения нестандартных задач.

При формировании умения решать нестандартные задачи учитель должен руководствоваться следующими правилами: научить своих учеников догадываться, доказывать и с помощью наводящих указаний, не навязывать своего мнения насильно. Помогая ученику, учитель должен оказать ему внутреннюю помощь, т.е. ограничиться такими подсказками, которые могли бы рождаться в сознании самого ученика, и избегать внешней помощи, т.е. давать куски решения, которые не связаны с сознанием ученика. (Д.Пойа)

На ранних этапах обучения учащимся полезно давать памятки, включающие все шаги решения, а также использовать серию однотипных задач. Усложнять задачи постепенно, используя ранее решенные задачи (метод подсказок). Такой прием систематизирует знания и опыт по решению нестандартных задач. Решая одну задачу разными способами, учащиеся приобретают жизненный опыт и прочные знания по данному типу задач.

1.Анализ текста задачи:

Усвоение содержания; составление схемы, рисунка, чертежа, таблицы; выписать данные и искомые величины и соотношения между ними; проверить их достаточность и непротиворечивость; перевести условие задачи на математический язык, предполагаемый для решения задачи; переформулировать условие задачи, заменив данное в ней описание ситуации другими объектами, сохраняющими все отношения, связи и количественные характеристики, т.е. преобразовать текс задачи в форму, сокращающуюся поиск решения.

2.Поиск решения (выдвижение идеи, разбор задачи, составление плана)

Попытаться свести ее к ранее решенным задачам; отбросить не существенную, излишнюю информацию; заменить описание некоторых понятий соответствующими терминами, изменить текст задачи в форму, удобную для поиска решения; расчленить задачу на серию вспомогательных задач, последовательное решение которых составит решение данной задачи.

3.Осуществление плана решения.

Выбор способа оформления задачи, гарантирующего фиксацию рассуждений в форме, достаточной для полного решения; провести коррекцию правильности решения путем сравнения с условием.

4. Проверка ответа.

Прикинуть правильность результата сопоставлением с условием и здравым смыслом; установить соответствие между данными и искомыми величинами; составить и решить обратную задачу.

Примеры решения нестандартных задач.

Задача «Переправа»

В задачах на переправы необходимо кого- то переправить, чаще на лодке на другой берег. Задачи данного типа решаются по алгоритму, то есть по понятному и точному предписанию действий исполнителю, с целью получения результата.

Виды задач: Переправы без условий: переправляющиеся находятся на одном берегу или переправляющиеся находятся на разных берегах. Переправы с условиями: условие вместимости или затрудненные переправы (наличие острова)

Задача. Волк, коза и капуста. На берегу реки стоит крестьянин с лодкой, а рядом с ним находятся волк, коза и капуста. Крестьянин должен переправиться сам и перевезти волка, козу и капусту на другой берег. Однако в лодку кроме крестьянина помещается либо только волк, либо только коза, либо только капуста. Оставлять же волка с козой или козу с капустой без присмотра нельзя – волк может съесть козу, а коза – капусту. Как должен вести себя крестьянин?

Решение. Крестьянин может следовать одному из двух алгоритмов:

Задачи на переливания

Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных ёмкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задача. Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Ход рассуждений: 1) Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровое.

2) Переливаем из пятилитрового бидона 3 литра в трёхлитровый бидон.

 3)Переливаем их теперь в восьмилитровое ведро. Трёхлитровое ведро пусто, в восьмилитровом 6 литров молока, а в пятилитровом - 2 литра молока. 

4)Переливаем 2 литра молока из пятилитрового бидона в трёхлитровый.

5) наливаем 5 литров из восьмилитрового ведра в пятилитровый бидон. Теперь в восьмилитровом 1 литр молока, в пятилитровом - 5, а в трёхлитровом – 2 литра молока. 

6)Доливаем дополна трёхлитровый бидон из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. В восьмилитровом ведре стало 4 литра, так же, как и в пятилитровом бидоне.

Задача решена.

Задачи на разрезание

Задача. Разрезать фигуру на 4 фигуры разных по форме и равных по площади.

Ход рассуждения: нарисуйте сначала отдельно все виды фигур равной площади

16:4 =4(клетки) и повторите метод перебора вариантов.

Задачи на графы.

Граф – геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и линий, их соединяющих (рёбра графа).

Задача. На пришкольном участке растут 8 деревьев: тополь, дуб, клён, берёза, рябина, лиственница, сосна и яблоня. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клёна, дуб ниже берёзы, но выше сосны, сосна выше рябины, берёза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому.

Решение. Вершины графа - деревья, обозначенные первой буквой названия дерева. В данной задаче два отношения: - «быть ниже» и – «быть выше». Рассмотрим отношение – «быть ниже» и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то проводим стрелку от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клён, выше яблоня, потом лиственница, рябина, сосна, дуб, берёза и тополь.

Ответ: клён, яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, берёза, тополь.

Логические квадраты.

Отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками. Вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так суждения вида А и вида I, а также суждения вида Е и О находятся в отношении подчинения. Суждения вида А и Е находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и О – частичного совпадения. Общие суждения (А, Е) являются подчиняющими, а частные (I, O) – подчинёнными. Для суждений, находящихся в отношении подчинения, имеет значение следующее условие истинности: если истинно А, то истинно и I; если истинно Е, то также истинно и О, но не наоборот. Действительно, если истинно, что «Все студенты сдают зачет по логике» (А), то же самое верно и относительно некоторых из них (I) «Некоторые студенты сдают зачет по логике», но не наоборот. Из того, что «Некоторые дни недели являются нерабочими» (I), вовсе не следует, что «Все дни недели являются нерабочими» (А). Если истинно суждение «Ни один месяц не содержит тридцать второго числа» (Е), то истинным будет также подчиненное ему частно отрицательное суждение «В некоторых месяцах нет тридцать второго числа» (О). Обратное суждение не верно. Из истинности частного отрицательного суждения «Некоторые плоды не являются съедобными» (0) не следует, что и «Ни один из плодов не употребляется в пищу» (Е). В отношении противоречия находятся суждения Е и I, и А и О. Согласно законам логики, два противоречивых суждения не могут быть одновременно ни истинными, ни ложными. Значит, в двузначной логике они будут принимать разные логические значения: I если А – истинно, то О – ложно О если А – ложно, то О – истинно, если О – истинно, то А – ложно, если О – ложно, то А – истинно, если E – истинно, то I – ложно, если E – ложно, то I – истинно, если I – истинно, то E – ложно, если I – ложно, то E – истинно. Установив вид одного из противоречивых суждений и его логическое значение, можно без труда установить также логическое значение противоречивого ему суждения. Например, зная, что суждение «Ни один дельфин не живет на суше» (Е) является истинным, заключают, что противоречивое ему суждение «Некоторые дельфины способны жить на суше» (I) - ложно.

Отношением контрарности связаны только общие суждения А и Е. Как мы уже знаем, контрарность означает противоположность, крайние позиции и не охватывает весь класс предметов. Здесь возможно «и третье», «и четвертое». Значит, контрарные суждения не обязательно должны принимать разные логические значения. Верхняя О грань квадрата связывает такие виды суждений (А, Е), которые могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными. Например, оба суждения: «Все люди любят музыку Шнитке» и «Ни один человек не любит музыку Шнитке» очевидно ложны. Истинное суждение при этом будет выражать последний тип отношения- субконтрарность.

Отношение субконтрарности может возникать только между частными суждениями I и O. Это отношение выражено нижней гранью квадрата. Помня о том, что суждения I и O подчинены суждениям А и Е, и беря во внимание отношение противоположности между суждениями А и Е, заключаем, что поскольку суждение А и О, Е и I связаны законом не противоречия, то в случае контрарных отношений О между А и Е отношения подчинения I→A и O→E «отменяются». В том случае, когда «верхние» суждения А и Е оказываются оба ложными (как в нашем примере), то истинными оказываются противоречащие им «нижние» суждения I и О. Поскольку суждения А и Е могут оказаться одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными, то суждения I и О, наоборот, могут быть одно- временно истинными, но не могут быть одновременно ложными (это и означает субконтрарность). Значит, в нашем примере истинными будут суждения: «Некоторые люди любят музыку Шнитке» (I), «Некоторые люди не любят музыку Шнитке» (О). Установление логических отношений между суждениями «по логическому квадрату позволяет производить ряд практических операций с суждениями. Например, зная истинное значение одного из суждений A, E, I, O, при помощи логического квадрата можно установить истинное значение трех остальных суждений. Данная логическая операция в формальном виде предстает в виде решения «задачи по логическому квадрату».

Задача. необходимо установить, каково логическое значение суждений E, I, O, если А – суждение истинное. Итак, А – истина, Е - ? I - ? O - ?
Решение. Выясняем значение другого общего суждения Е. Оно связано с А логическим отношением контрарности и также истинным быть не может (по определению контрарности). Значит, Е – ложно. Устанавливаем значения суждений I и О, связанных с общими суждениями А и Е отношением противоречия. Поскольку при таком отношении суждения принимают разные логические значения, устанавливаем: если А истинно, то О – ложно; если Е ложно, то I – истинно. Таким образом, решив задачу, устанавливаем, что: Если А - истина, то Е – ложь, I – истина, O – ложь

Задачи на числовые ряды.

Задача. Продолжите ряд чисел: а) 1; 3; 4; 7; 11; 16; ?

Ход рассуждений: поиск закономерностей, попытка определения закономерности в расстановке чисел: а) на сколько, во сколько больше или меньше; б) при сравнении: последовательных чисел или через число, или через два числа и т.д.; в) разработка аналогичных числовых рядов; г) решение теста.

Мы рассмотрели только часть нестандартных задач . И учиться решать задачи нужно на задачах. Ученик при решении задачи должен почувствовать себя в роли ученого. Он должен изобретать новые решения и новые задачи, овладевая умением работать творчески. Стараться подойти к задаче и ее решению с разных сторон. И чаще себе задавать вопрос: «А нельзя ли…?» или «А что если так…?» И тогда можно научиться решать задачи и не боятся никаких олимпиад.

Список литературы

1. Абдрашитов Б.М., ,Абдрашитов Т.М., Шлихунов В.Н., Учитесь мыслить нестандартно //Москва// Просвещение// 1996г

2. Антипов И.Н., и др. Избранные вопросы математики. 9 кл. Факультативный курс .- //М.// Просвещение, 1979г

3. Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по математике // Ростов на Дону //Феникс, 2008г.  

4. Винокурова Н.К. Развитие творческих способностей учащихся // М.: Образовательный центр «Педагогический поиск», -1999г.  

5. Воронцова Л.Я. Развитие логического мышления на уроках математики // Образование в современной школе. -//2007г

6. Гаврилова И. Логические задачи // Математика.// -2009г

7. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. // М., Просвещение, 1996г

8. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. //М. //2007г

9. Иванов О.А. 100 олимпиадных задач по математике//С-Пб// Гос университет// 1994

10. Игнатьев Е. И. Математическая смекалка. – М.: Омега, 1994

11. Левитас Г.Г. Нестандартные задачи по математике в 7-11 классах. // М. ИЛЕКСА, 2012г.

12. Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач для старшеклассников // М//, Просвещение, 1995г

13. Кашуба Р. Как решать задачу, когда не знаешь, как: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений //.М// Просвещение, 2012г. (Решаем нестандартные задачи).

14. Фарков А.В. Математические олимпиады: метод. Пособие/А.В. М.: Гуманитар.изд. Центр. ВЛАДОС, 2004. (Библиотека учителя математики)

15. Калягин Ю.М., Оганесян В.А. Учись решать задачи. Пособие для учащихся 7-8 классов.- М.: Просвещение, 1980-96с.

Список электронно-образовательных ресурсов

http://www.comp-science.narod.ru –олимпиадные задачи.

http://www.zaba.ru – математические олимпиады .

http://www.imo-official.org – международные математические олимпиады.

http://www.problems.ru для учителей и учеников для подготовки к олимпиадам.