Математика вокруг нас

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 63 г. Перми»

Программа дополнительного образования

«Математика вокруг нас»

( 9 класс)

Пермь –2016

Пояснительная записка

В повседневной жизни человек очень часто встречается с процентами. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Однако тема «Проценты» часто является трудной для учащихся в связи с тем, что ей внимание уделяется эпизодически в 5, 6 и 8 классах.

Предлагаемый курс демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественнонаучному и социально-экономическому профилю. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Цели программы: показать широту применения процентных расчетов в реальной жизни, способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи программы:

формировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

решать основные задачи на проценты, применять формулы сложных процентов;

прививать учащимся основы экономической грамотности;

формировать навык оценивания своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы;

развивать логическое мышление, творческие способности, познавательные интересы.

Формы и методы работы.

Использование приемов, активизирующих работу школьников, дифференцируемые задания, свободный выбор заданий для домашней самостоятельной работы;

Общие методы: объяснительно-иллюстративный, эвристический;

Частные методы: словесные, словесно-наглядные, словесно-наглядно-практические;

Конкретные методы: лекция, объяснение, беседа, самостоятельная работа учащихся;

Обучение рассуждению, выдвижению гипотез;

Использование работы в парах, группах;

Проведение уроков-семинаров, практикумов;

Формой контроля может стать деловая игра «Проценты в современной жизни».

Содержание работы

Предлагаемый курс развивает систему ранее приобретённых знаний. Программа содержит три блока, связанных единой идеей. На первом занятии учащиеся знакомятся с целью и задачами курса. В первом блоке повторяются и систематизируются ранее изученные знания по теме «Проценты», повторяются все типы решения задач по теме, проводится практическая работа по решению задач.

Второй блок посвящён решению задач на сплавы, смеси, растворы.

Третий блок посвящён банковским расчётам, вводится понятие сложного процента.

Используется исторический материал. В качестве итогового контроля предлагается деловая игра «Проценты в современной жизни».

На изучение темы предполагается потратить 24 часа.

Тематическое планирование

Требования к учащимся, изучившим курс

В результате изучения курса учащиеся должны:

понимать содержательный смысл термина «процент» как специального термина выражения доли величины;

применять формулу сложных процентов;

владеть основными приемами и методами решения задач на проценты;

уметь производить прикидку и оценку результатов вычислений;

объяснять основные экономические термины: «процент прибыли», «пеня», «стоимость товара», «тариф», «спрос» и т. д.

Критерии определения усвоения учащимися содержания курса

выбор продолжения обучения в профильном классе;

умение решать практические задачи на проценты.

Диагностика качества знаний

деловая игра «Проценты в современной жизни»

Использованная литература:

1. Соломатин О.Д. «Старинный способ решения задач на сплавы и смеси», «Математика в школе» № 1, 1997 г.

2. Симонов А.С. «Проценты и банковские расчёты», «Математика в школе» № 4, 1998 г.

3. Симонов А.С. «Сложные проценты», «Математика в школе» № 5 , 1998 г.

4. Захарова А.Е. «Несколько задач про цены», «Математика в школе» № 8, 2002 г.

5. Фирсова М.М. «Урок решения задач с экономическим содержанием», «Математика в школе» № 8, 2002 г.

6 Зубарева И.И. «Еще раз о процентах», «Математика в школе» № 10, 2006 г.

7. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре, 8-9, М., 1997 г.

8. Перельман Я.И. Занимательная алгебра, М., 1970 г.

Приложение 1

Блок 1. Актуализация знаний

На данных занятиях повторяется понятие процента.

Процент - сотая часть.

Например, 2 % = 0,02; 20 % = 0,2; 25 % = 0,25 и т.д.

Существует следующие виды задач «на проценты»:

1. Найти число а, составляющее п процентов от числа в.

Решение: а =

2. Обратная задача: найти число в, если п процентов от него равно а.

Решение: в = а :

3. Найти, сколько процентов составляет число а от числа в.

Решение: п =

Пример 1. Найти 18 % от 4500 рублей.

Решение: а = 4800 / 100 ∙ 18 = 810 (руб.)

Пример 2. Найти число у, если 15 % от него равны 180.

Решение: у =180 ∙ 100 / 15 = 1200

Пример 3. Сколько процентов составляет число 12 от числа 600?

Решение: р = 12 / 600 ∙ 100 = 2 %.

Пример 4. В двух сараях сложено сено. В первом сена в три раза больше, чем во втором. После того, как из первого сарая взяли 20 т сена, а во второй добавили 20 т, оказалось, что во втором сарае масса сена равна 50 % массы сена, оставшегося в первом сарае. Сколько тонн сена было первоначально во втором сарае?

Решение: Пусть во втором сарае х тонн сена, тогда в первом сарае 3х сена. После всех перемещений в первом сарае стало (3х – 20) т сена, а во втором (х + 20) т сена.

По условию задачи

х + 20 = 0,5 (3х – 20),

откуда х = 60.

Ответ: 60 т.

4. Одна величина больше (меньше) другой на р %.

а) Если а больше в на р %, то

а = в + 0,01рв = в (1 + 0,01р).

б) Если а меньше в на р %, то

а = в - 0,01рв = в(1 - 0,01р).

Пример 5.На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

Решение:

120 = 90 +90 - 0,01р

120 = 90 (1 + 0,01р)

1 + 0,01р = 120 / 90 = 4 / 3

0,01р = 1 / 3; р = 100 / 3 или р = 33

Ответ: 33.

Аналогично,

а) если а возросло на р %, то новое значение равно а (1 + 0,01р).

Пример 6. Увеличить число 60 на 20 %:

Решение: 60 + 60 - 0,2 = 72 или 60 (1+0,2) =72.

б) если а уменьшили на р %, то новое значение равно а (1 - 0,01р).

Пример 7. Число 72 уменьшили на 20 %.

Решение: 72 – 72 · 0,2 = 57,6 или 72 (1 – 0,2) = 57,6.

Объединив а) и б), запишем задачу в общем виде: увеличили число а на р %, затем полученное уменьшили на р %.

а (1 + 0,01р); а (1 + 0,01р)(1 – 0,01р) = а (1 – (0,01р)²)

Замечание. Результат не изменится, если увеличение (уменьшение) следует за уменьшением (увеличением).

Решить самостоятельно.

Задача 1.

Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?

Ответ: цена снизилась на 9 %.

Задача 2.

Цену товара повысили на 20 %, затем новую цену снизили на 20 %. Как изменится цена товара?

Ответ: цена снизилась на 4 %

Творческое задание.

Решить задачу в общем виде.

Увеличили число а на р %. На сколько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы получить а?

Решение.

а (1 + р / 100) – а (1 +р / 100) ·х / 100 = а

а (1 + р / 100)(1 – х / 100) = а

1 – х / 100 = 100 / (100 + р),

х / 100 = р / (100 + р)

х = 100 р / (100 + р)

Задачи для домашней и практической работы в классе

1. Бригаде поручили отремонтировать участок дороги длиной 760 м. Сколько метров дороги бригада отремонтирует, когда выполнит 30 % задания, 50 % задания, 10 % задания?

2. Школьники помогали колхозу собирать яблоки. За день они собрали 4810 кг. 25 % собранных яблок отправили в детский сад, а остальные – на склад. Сколько килограммов яблок отправили на склад?

3. Товар с перевозкой стоил 17694000 рублей, причём расходы по перевозке составили 8 % стоимости товара. Сколько стоит товар без перевозки?

4. Масса вяленой рыбы составляет 55 % массы свежей рыбы. Сколько нужно взять свежей рыбы, чтобы получить 231 кг вяленой?

5. После замены двигателя средняя скорость самолета увеличилась на 18 %, что составляет 68,4 км/ч. Какова была средняя скорость самолета?

6. В двух школах поселка училось 640 мальчиков. Через год число мальчиков в первой школе увеличилось на 5 %, а во второй–уменьшилось на 10 %, а общее количество мальчиков стало равным 612. Сколько мальчиков училось в первой школе первоначально?

7. Себестоимость изготовления одной детали равна 650 рублей. Внедрение новой технологии позволило снизить себестоимость детали на 2 %. Какова стала себестоимость такой детали?

8. Ученик сначала прочитал 75 страниц, а потом еще несколько страниц. Их количество составило 40 % от прочитанного в первый раз. Сколько страниц в книге, если всего прочитано ¾ книги?

9. На сколько процентов увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличить на 30 %, а другое – на 20 %?

10. На сколько процентов надо увеличить сторону квадрата, чтобы его площадь увеличилась на 96 %?

11. 35 % от 128,1 составляют 49 % неизвестного числа. Найдите это число.

12. Цена на бензин в первом квартале увеличилась на 20 %, а во втором – на 30 %. На сколько процентов увеличилась цена на бензин за два квартала?

13. Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

14. Найти отношение двух чисел, если известно, что разность первого числа и 10 % второго числа составляет 50 % суммы второго числа и 50 % первого.

15. Саша за весну похудел на 20 %, за лето поправился на 30 %, за осень похудел на 20 %, за зиму поправился на 10 %.

16. С двух участков ежегодно собиралось 500 тонн пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30 %, а на втором – на 20 %. Поэтому с двух участков собрали 630 тонн пшеницы. Сколько пшеницы собрали с первого участка первоначально?

Блок 2. Задачи на сплавы, смеси, растворы.

В задачах на сплавы, смеси, растворы часто встречается процентное содержание элемента, которое равно ∙ 100%, где m_э – масса элемента в сплаве или растворе,m_с – масса сплава или раствора. Необходимо отметить, что при наличии двух элементов в сплаве или растворе, достаточно проследить за изменением массы и процентного содержания только одного элемента.

Пример 1. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60 % олова и 900 г сплава олова и меди, содержащего 80 % олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

Решение. Масса олова в первом сплаве равна

0,6 ∙ 300 г = 180 г,

во втором –

0,8 ∙ 900 г = 720 г.

Тогда масса олова в новом сплаве

180 г + 720 г = 900 г,

масса нового сплава равна

300 г + 900 г = 1200 г,

процентное содержание олова в нем равно

Ответ: 75 %.

Пример 2. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 литров воды, получили смесь с процентным содержанием спирта 12 %. Сколько воды было в спирте первоначально?

Решение. Пусть в смеси было х л спирта, тогда объем воды в ней 4х л.

В новой смеси количество спирта осталось прежним (х л), объем воды в ней (4х + 20) л, объем смеси равен (х + 4х+ 20) л, а процентное содержание спирта , что по условию задачи составляет 12 %. Получим и решим уравнение

100х = 12 (5х + 20)

х = 6.

Итак, первоначально в смеси было 6л спирта и 24 л воды.

Ответ: 24 л.

Задачи для домашней и практической работы в классе

Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20 % цинка, и 6 кг цинка и меди, содержащего 40 % цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

Ответ: 65 %.

Смешали 300 г 60%-ного раствора серной кислоты и 200 г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?

Ответ: 68 %.

Имеется два сплава. Один содержит 2,8 кг золота и 1,2 кг примесей, другой – 2,7 кг золота и 0,3 кг примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 2 кг сплава с процентным содержанием золота 85 %. Сколько килограммов металла отрезали от второго сплава?

Ответ: 1,5 кг.

В смеси ацетона и спирта ацетона в 2 раза меньше, чем спирта. Когда к этой смеси добавили 300 литров спирта, получили смесь с процентным содержанием ацетона 28 %. Сколько литров ацетона было в смеси первоначально?

Ответ: 525 литров.

Отношение массы олова к массе свинца в куске сплава равно 2 : 3. Этот кусок сплавили с куском олова весом 3 кг и получили новый сплав с процентным содержанием свинца 10 %. Найдите массу олова в новом сплаве.

Ответ: 3,24 кг.

Имеется 2 слитка сплава олова с медью. Первый слиток содержит 230 г олова и 20 г меди, а второй слиток – 240 г олова и 60 г меди. От каждого слитка отрубили по куску, сплавили их и получили 300 г сплава. Сколько граммов отрубили от первого слитка, если в полученном сплаве было 84 % олова?

Ответ: 100 г.

В двух одинаковых сосудах находятся растворы серной кислоты концентрации 28,7 % и 37,3 %. Растворы сливают. Какова концентрация полученного раствора кислоты?

Ответ:33 %

У ювелира 2 одинаковых по массе слитка, в одном из которых 36 % золота, а в другом 64 %. Сколько процентов золота содержится в сплаве, полученном из этих слитков?

Ответ: 50 %

У кузнеца имеется 2 одинаковых по массе бронзовых бруска. В одном олово составляет 43 % массы, а в другом медь составляет 43 % массы. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный при переплавке этих брусков? ( Бронза – сплав олова и меди.)

Ответ: 50 %.

Для приготовления маринада необходим 2 %-ный раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100 г 9 %-ного раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада?

Ответ: 350 г.

Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2 % морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 литрам морской воды с 5 % - м содержанием соли, чтобы вода была пригодна для заполнения аквариума?

Ответ: 120 л.

Сколько килограммов нужно выпарить из 2 тонн целлюлозной массы, содержащей 85 % воды, чтобы получить массу 75 % - м содержанием воды?

Ответ: 800 кг.

Огурцы содержат 99 % воды. В магазин привезли 1960 кг свежих огурцов, но в результате неправильного хранения содержание воды в огурцах снизилось до 98 %. Сколько кг огурцов поступило в продажу?

Ответ: 980 кг.

Сколько литров воды нужно добавить к 12 литрам уксусной эссенции (смесь уксуса и воды) с содержанием уксуса 80 % для приготовления столового уксуса с содержанием воды 94 %?

Ответ: 148 л.

В ювелирную мастерскую заказчик принес 2 сплава золота различной пробы: с содержанием золота 58 % и 95 %. Сколько граммов сплава с 95 %-ным содержанием золота нужно взять, чтобы получить 37 граммов сплава с 70 % - ным содержанием золота?

Ответ: 12 г.

Блок 3. Банковские операции

Уже в далекой древности было широко распрост­ранено ростовщичество – дача денег взаймы подпроценты. Разность между той суммой, которуювозвращали ростовщику, и той, которую первона­чально взяли у него, называлась лихвой. Так, вДревнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Это означало, что ремесленник, взявший у рос­товщика 1000 денежных единиц сроком на один год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц.

Известно, что в XIV – XV вв. в Западной Европе широко распространились банки – учреж­дения, которые давали деньги в долг князьям,купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т.д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: запользование предоставленными деньгами они бра­ли плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величиневыданных в долг денег.

Тех, кто берет в долг деньги в банке, называютзаемщиками,а ссуду, т.е. величину взятых у банка денег, называют кредитом.Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчикам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада. Таким образом, средства, помещенные на хранение в банк, через определенный период времениприносят некоторый доход, равный сумме начисленных за этот период процентов.

Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчи­ку, а с другой – дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банкявляется финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.

Одним из самых распространенных способовпривлечения в банк сбережений граждан, фирм и т.д. является открытие вкладчиком сберегательно­го счета: вкладчик может вносить на свой счет дополнительные суммы денег, может снимать со счета определенную сумму, может закрыть счет, полностью изъяв деньги, на нем хранящиеся. При этом вкладчик получает от банка плату в видепроцентов за использование его денег для выдачикредитов предпринимателям, фирмам, государ­ству, другим банкам и т.д.

За хране­ние сбережений вкладчика и разрешение распо­ряжаться этими деньгами банк выплачивает вклад­чику проценты к хранящейся сумме денег. В за­висимости от способа начисления проценты де­лятся на простые и сложные.

1. Простые проценты

Увеличение вклада S_oпо схеме простых процен­тов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исхо­дя только из первоначальной суммы вкладаS_oнезависимо от срока хранения и количества пе­риодов начисления процентов.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S_oруб. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года р % от первоначальной суммы S_o.Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов состав­ляет – S_oр / 100 руб, и величина вклада станет равной

S₁ = S_o (1 + р/100) руб.

р называют годовой про­центной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик сни­мет со счета начисленные проценты S_oр / 100, а суммуS_o оставит в банке, то по прошествии второгогода на вклад вновь начислят S_o р/100 руб., а за два года начисленные проценты составят 2S_o р /100 руб, через п лет на вкладе по формуле простого процента будет

S_п = S_o (1 + пр/ 100) руб.

Но вкладчик может поступить иначе. Он можетне снимать S_oр /100 руб., начисленных в конце первого года, а всю сумму S₁ = S_o (1 + р/ 100) руб. оставить в банке еще на год. Однако по прошествии второго года банк начислит р% не на сумму S_t,лежащуюна счете вкладчика, а только на первоначально по­ложенную сумму S_o. На величину S_oр / 100 руб. никаких начислений банк не производит! В этом и состоит особенность начисления по схеме простыхпроцентов: проценты начисляются всегда только на первоначальную сумму S_o.

Если вкладчик будет дер­жать свои деньги на счете п лет, то сумма П_п начисленных процентов составит

П_п= п S_o р / 100 руб.

Начисление простых процентов удобно, напри­мер, применять тогда, когда по истечении каждо­го года вкладчик снимает со своего счета процен­ты, начисленные за этот год.

Отношение

S_п/S_o = 1 + пр/ 100

называюткоэффициентом наращения простых про­центов.Он показывает, во сколько раз вырос пер­воначальный вклад S_oза п лет хранения этой сум­мы в банке по схеме простых процентов с годовой процентной ставкой р.

П р и м е р 1. Банк выплачивает каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200000 р. Какая сумма будет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

Решение.

Используя формулу S_п = S_o (1 + пр/ 100) руб

S = 200000(1 + 5∙ 8 /100) = 280000(р.)

S = 200000(1 + 10∙ 8 /100) = 360000(р.)

Ответ: 280000 р; 360000 р.

П р и м е р 2. Вкладчик открыл в банке счет иположил на него S_o = 150000 руб. сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18 % в год.Какой будет сумма S₄,которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырас­тет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент на­ращивания?

Решение.В нашем случае S_o = 150000, р= 18, п = 4

имеем

S₄ = 150000  (1 + 18  4) = 258000 руб.

За 4 года вклад увеличился на 108000 руб. = 258000 руб. - 150000 руб. Коэффициент наращивания равен S₄/S_o=1,72. Он показывает, что за 4 года первоначальный вклад S_oувеличился в 1,72 раза.

П р и м е р 3. Какую сумму положили в банк под простые проценты по ставке 22 %годовых, если через 5 лет вклад достиг величины S₅ = 94500 руб.? На сколько рублей вырос вклад за 5 лет?

Решение.В нашем случае р = 22,п = 5, S₅= 94 500.

S_o= 100S_п/ (100 + пр)

Подставим сюда заданные значения и получим

S_n= 45000 руб. За 5 лет вклад увеличил­ся на S₅–S_o = 49500 руб.

П р и м е р 4. Сколько лет лежал в банке вклад 70 000 руб., если по ставке 19,2 % годовых про­стых процентов он достиг величины 150640 руб.?Чему равен коэффициент наращивания?

Решение.ИмеемS₀ = 70000,Sп = 150640,р = 19,2. Из соотношения (3) получаем

п = (S_п/S_o– 1)  100 / р

Подставим сюда заданные значения Sп,S_oир и найдем результат п — 5, (9), т.е. и = 6. Коэффициент наращивания 2,152.

П р и м е р 5. Какую годовую ставку простыхпроцентов выплачивает банк, если вклад 12000 руб. через 3 года достиг величины 14160 руб.?Определите коэффициент наращивания.

Р е ш е н и е. По условию, S_o = 12000, S₃= 14160, п = 3.

имеем

р = (Sп/S_o – 1)  100 / п

Подставляем в полученное выражение заданные значения, вычисляем результат: р = 5, (9), т.е. р = 6 %.

Коэффициент наращивания равен 1,18.

Обобщая решение задач 1 – 5, можно выписать формулы (учащиеся делают это самостоятельно)

S_o= 100 S_п/ (100 + пр)

п = (S_п/S_o – 1)100 / р

р = (Sп/S_o – 1)100 / п

S_n=S_o (1 + рп/100)

2. Начисление простых процентов на часть года

Вкладчик имеет право получить свой вклад или его часть не через целое количество лет, а через какую-то часть года. Банк будет расплачиваться следующим образом: пусть годовая процентная ставкар % в год. Тогда за m / nчасть года процентная ставка будет составлять mр / n %. Величина вклада через к месяцев будет вычисляться по формуле

Sк = S_o (1 + к )

Если же срок хранения вклада выражается в днях, то формула примет вид

S_l=S_o (1 +l )

Где l – количество дней.

Величина вклада в этих случаях будет находиться по формулам:

Dк = S_o к,

D_l=S_ol

П р и м е р. Вкладчик внес на счет в банке 270000 руб. Банк выплачивает простые проценты по ставке 55 % годовых. Определите, на сколько рублей увеличится вклад через 2 года 4 месяца и 23 дня. Какой величины он достигнет? На сколь­ко процентов увеличится первоначальный вклад за это время?

Решение.К моменту начисления процентов вклад находился в банке

2 - 365 + 4 - 30 + 23 = 873 (дня).

Величина начисленных процентов за 873 дня

D₈₇₃ = 270000 873 = 355179,45 (руб.).

Величина возросшего вклада

S₈₇₃ = 270 000 + 355987,49 = 625 987,49 (руб.).

За прошедшее время первоначальный вклад увеличился на

355179,45 / 270000  100 = 131,54 %.

3. Сложные проценты.

Есть другой способ расчета банка с вкладчиком. Он состоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислятьр % уже на новую, увеличенную сумму. Это означает,что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вкладS_o ,но и на проценты, которые на него полагаются.

Такой способ начисления "процентов на про­центы" в математике называют сложными про­центами,а операцию присоединения начислен­ных процентов к основному вкладу называюткапитализацией процентов.

S₀ – первоначальный взнос вкладчика, банк выплачивает р % годовых по схеме сложных процентов. Через один год на счёте вкладчика будет сумма S₁ = S₀ (1 +р/100), по прошествии второго года процент начисляется на сумму S₁, в конце второго года на счёте окажется сумма S₂ = S₁ (1 + р/ 100) = S₀ (1 + р/ 100)². В результате рассуждений выводится формула сложных процентов. Если первоначальный вклад пролежал в банке п лет, то сумма денег на счёте вкладчика составит

S_п = S₀ (1 + р / 100)^п

Пример1 . В банк внесена сумма 2000 руб. Банк начисляет сложные проценты по ставке 12 % годовых. Какая сумма будет на счете вкладчика через 6 лет?

Решение.S₀= 2 000 руб., р = 12 %, п= 6 лет. Тогда

S₆= 2000  (1 + 0,12)⁶= 3947,65 (р).

Пример2. В банк внесен вклад 64000 руб. на три года. Какова годовая ставка сложных процентов, если через три года на счете вкладчика оказалось 216000 руб.?

Решение.ПриS₀ = 64000 руб., S₃ = 216000 руб. и п=3 найдем р.Имеем: р = 100 ((S₃/S₀)^1/3– 1), или р = 100 ((3,375)^1/3 – 1) = 100  0,5 = 50 %.

Пример3 . Банк начисляет сложные проценты поставке 25 % годовых. Через сколько лет вклад 216000 руб. возрастет до 421875 руб.?

Решение.Найдем п.

Имеем:S_n=421875 руб., S₀= 216000 руб., р= 25 %. Поэтому

421875 = 216000  ( 1 + 0,25 ) ^п, откуда 125 / 64 = (5 / 4)^п, п= 3.

Пример4. Какую сумму следует внести в банк, на­числяющий 35 % годовых по схеме сложных процентов, что­бы за три года накопить сумму 40000 руб.?

Решение.S_n = 40000, р= 35 %, п= 3. Получим

S₀= 16257,68.

Задачи для домашней и практической работы в классе

1. Какой должен быть первоначальный капитал, чтобы при начислении 5 % в месяц получить через полгода 10 тыс. рублей?

Ответ: 7463 р.

2. Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые три года капитал увеличивался в три раза?

Ответ: 59 %.

3. Банк «Диалог-Оптима» осуществляет денежные переводы. Минимальная сумма перевода 50 р., максимальная – 300 р. С суммы перевода банк берет 1,5 % за оказание своих услуг. На сколько в процентном отношении возьмут больше с человека, сделавшего перевод на максимальную сумму, чем с того, кто сделал перевод на 50 рублей?

Ответ: на 500 %.

4. Банк «Вини-Пух и Пятачок» начисляет своим вкладчикам по 10 % ежемесячно. Иа сделал вклад в этот банк в размере 1,00 $. Сколько денег он может снять со своего счета через два месяца?

Ответ: 1.21 $.

5. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4 % в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33000?

Ответ: 25000 р.

6. Деньги, вложенные в банк, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

Ответ: за 5 лет.

7. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.?

Ответ: 5 %.

8. Клиент имел в банке счет, по которому начислялось 6 % годовых. После того как банк предложил новые виды вкладов, он снял с этого счета все деньги и 2000 р. положил на вклад, по которому начислялось 8 % годовых, а остальные – на вклад 9 % годовых. В результате его годовой доход оказался на 130 р. больше, чем по прежнему вкладу. Сколько всего денег он внес на новые вклады?

Ответ: 5000 р.

9. Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Крупная премия пролежала дома до лета. За это время цены на товары выросли в среднем на 50 %. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность отложенных денег?

Ответ: на 33 %.

10. Компания Х выплачивает доход по своим акциям ежемесячно из расчета 140 % годовых. Компания У выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

Ответ: в акции компании У.

11. Инвестиционный фонд вложил деньги в два предприятия, приносящих годовой доход в 12 % и 5 %. В первое он внес на 300000 р. больше, чем во второе, и получил в нем за год на 6000 р. больше. Сколько рублей внес инвестиционный фонд в каждое из этих предприятий?

Ответ: 1300 тыс.р. и 1000 р.

12. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 р. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 р. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

Ответ: 10 %.

Приложение 2.

Деловая игра «ПРОЦЕНТЫ В СОВРЕМЕННОЙ ЖИЗНИ»

Цели игры: ориентировать учащихся на прикладное при­менение математических знаний в профессиональной деятельно­сти; в неформальной обстановке произвести диагностику качества знаний учащихся по данной теме.

Учебно-воспитательные задачи:

1. Создатьусловия, в которых учащиеся могут испытать себя как будущего профессионала, проявить свои деловые качества: умение «презентовать» себя на рынке труда, умение руководить коллективом, инициативность, выносливость, смелость.

2. Способствовать развитию умений применить свои знания в нестандартных ситуациях, развитию творческих и коммуникатив­ных способностей учащихся.

3. Стимулировать интерес к предмету, развивать чувство соли­дарности и здорового соперничества.

Форма проведения: урок-деловая игра.

ПЛАН ПРОВЕДЕНИЯ

1. Вступительное слово ведущего (2 мин).

2. Выполнение предложенных заданий (10 мин).

3. Проверка заданий и подготовка презентации команд (10 мин).

4. Просмотр презентации каждой команды (20 мин, по 4 мин. на команду).

5. Подведение итогов (3 мин).

Подготовка:

Игра проводится на занятии (45 минут) как урок повторения темы «Проценты». В игре принимает участие 20 человек: 5 групп по 4 человека. Каждая группа заранее выбирает себе тему для про­центных вычислений: «Распродажа», «Тарифы», «Штрафы», «Бан­ковские операции», «Голосование». Роли всех участников распре­деляются до игры и объясняются правила.

После распределения ролей между учениками готовятся бланки заданий для каждой группы, печатаются названия групп и каждому участнику делается эмблема с его именем и ролью. Можно исполь­зовать музыкальное оформление, тогда фонограмму надо записать заранее. Также нужно продумать расположение мебели в классе, места для команд и зрителей.

1-я группа «Распродажа»:

1) Менеджер магазина (проверяющий) -

2) Продавец антикварного отдела (решает задачу) -

3) Продавец обувного отдела (решает задачу) -

4) Покупатель (роль второго плана) -

2-я группа «Тарифы»:

1) Аудитор (проверяющий) -

2) Сотрудник коммунального отдела (решает задачу) -

3) Продавец мобильных телефонов (решает задачу) -

4) Квартиросъемщик (роль второго плана) -

3-я группа «Штрафы»:

1) Старший кассир (проверяющий) -

2) Кассир 1 (решает задачу) -

3) Кассир 2 (решает задачу) -

4) Водитель машины (роль второго плана) -

4-я группа «Банковские операции»:

1) Управляющий (проверяющий) -

2) Бухгалтер (решает задачу) -

3) Экономист (решает задачу) -

4) Вкладчик (роль второго плана) -

5-я группа «Голосование»:

1) Председатель счетной комиссии (проверяющий) -

2) Участник ученического совета (решает задачу) -

3) Член избирательной комиссии (решает задачу) -

4) Избиратель (роль второго плана) -

Оформление кабинета.

Перед началом игры расставляется мебель в классе, на столы ставятся таблички с названием команд, кладутся калькуляторы, ручки, участники прикрепляют себе эмблемы. На доске написано название игры, доска украшена рисунками и надписями по теме. Устанавливается аппаратура, если будет музыкальное сопровожде­ние: две мелодии по 10 минут, одна на 4 минуты и аплодисменты.

Правила игры.

I.Вступительное слово ведущего (2 мин).

Все игроки занимают свои места. Ведущий сообщает цели иг­ры, кратко напоминает её правила. Проверяющие каждой команды получают от ведущего карточки с заданиями для своей команды.

Задачи команды:

- быстро и качественно решить задачи;

- качественно осуществить контроль, т. е. произвести проверку решения задачи;

- презентовать свою группу (проявить артистизм).

II.Выполнение предложенных заданий (10 мин).

По сигналу начинается решение поставленных задач, все игроки команды решают отдельно друг от друга. Но по желанию игрок второй роли может помогать своей команде. Все бланки с решениями подписываются игроками.

Ведущий проходит по классу и делает пометки.

III.Проверка заданий и подготовка презентации команд (10 мин).

Затем проверяющие забирают решения игроков и сравнивают со своим решением, т. е. осуществляют проверку, исправляя ошиб­ки, если они есть. И в специальной графе на своем бланке делают пометки. А в это время остальные члены команды готовят презен­тацию своей группы. То есть им нужно оживить своих героев и свои задания. Придумать способ общения между действующими лицами, проговорить условие задачи и её ответ, примерить на себя роль конкретного человека в жизненной ситуации.

Ведущий проходит по классу и делает пометки.

IV.Просмотр презентации каждой команды (20 мин, по 4 мин. на команду).

При просмотре презентации оценивается артистизм каждой ко­манды, как они смогли реализовать себя в данной роли, как про­явили свои деловые качества, на каком уровне проходило общение между членами команд.

Ведущий делает пометки.

V.Подведение итогов(3 мин).

В бланке ведущего уже зафиксировано определенное количест­во баллов каждой команды, но он может посоветоваться со зрите­лями по последнему этапу. После того как произведены все под­счеты, ведущий объявляет результат игры. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов.

Оценки учитель выставляет каждому игроку отдельно. В жур­нал выставляются только хорошие отметки, а действиям некоторых учащихся дается устная оценка или какие-то рекомендации.

Задания для команд

Бланки 1-й группы «Распродажа».

Менеджер магазина

Задача № 1.1. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс. р. И выставил его на продажу, повысив цену на 60 %. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20 %. Какую прибыль получил магазин при продаже антиквар­ного предмета?

Задача №1.2. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24 %, а потом ещё на 10 %. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цены они стоили 593 р.?

Продавец антикварного отдела

Задача №1.1. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс. р. И выставил его на продажу, повысив цену на 60 %. Но этот предмет был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20 %. Какую прибыль получил магазин при продаже антиквар­ного предмета?

Продавец обувного отдела

Задача №1.2. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24 %, а потом ещё на 10 %. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цены они стоили 593 р.?

Покупатель

Вы любите заниматься спортом и старинные вещи, а также по­сещать магазины во время распродажи. Вам примерно 40 лет. Зайдя в магазин на распродажу, обратитесь за советом к ме­неджеру: «Где дешевле приобрести антикварную вещь и крос­совки?» Потом у продавцов поинтересуйтесь: «Сколько же вы получили прибыли от моей покупки?» и «Сколько рублей я сэкономлю на кроссовках?».

Бланки 2-й группы «Тарифы».

Аудитор

Задача № 2.1. В начале года тариф на электроэнергию состав­лял 40 к. за 1 кВт-ч. В середине года он увеличился на 50 %, а в конце года – ещё на 50 %. Как высчитаете, увеличился ли тариф на 100 %, менее чем на 100 %, более чем на 100 %?

Задача №2.2. Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем оплаты. В 2000 г. тарифы оплаты по системе К и М были одинаковыми, а в следующие три года последо­вательно либо увеличивались, либо уменьшались (см. таблицу). Сравните тарифы в 2003 г.

Сотрудник коммунального отдела

Задача №2.1. В начале года тариф на электроэнергию состав­лял 40 к. за 1 кВт-ч. В середине года он увеличился на 50 %, а в конце года – ещё на 50 %. Как высчитаете, увеличился ли тариф на 100 %, менее чем на 100 %, более чем на 100 %?

Продавец мобильных телефонов

Задача № 2.2. Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем оплаты. В 2000 г. тарифы оплаты по системе К и М были одинаковыми, а в следующие три года последо­вательно либо увеличивались, либо уменьшались (см. таблицу). Сравните тарифы в 2003 г.

Квартиросъемщик

Вы следите за изменением цен, и вас заинтересовало повыше­ние тарифов на электроэнергию, а также вы хотите перейти на новый тариф сотовой связи. Вы молоды. Обратитесь сначала к сотруднику коммунального отдела: «Как вы считаете, тариф на электроэнергию увеличился менее чем на 100 %?». Затем обра­титесь к продавцу мобильных телефонов: «Я был на тарифе К, вот не знаю, остаться на нем или перейти на другой. Посове­туйте».

Бланки 3-й группы«Штрафы»

Старшийкассир

Задача № 3.1. Если водитель не прошел техосмотр автомаши­ны, то сотрудник ГИБДД должен оштрафовать его на 1/2 минимальной оплаты труда. Стоимость прохождения техосмотра составляет примерно 150 рублей, а размер минимальной заработанной платы 500 рублей. Насколь­ко процентов штраф превышает стоимость техосмотра, если при оплате штрафной квитанции в банке с водителя возьмут 3 % за услуги банка?

Задача № 3.2. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один ме­сяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Кассир 1

Задача №3.1. Если водитель не прошел техосмотр автомаши­ны, то сотрудник ГИБДД должен оштрафовать его на 1/2 минимальной оплаты труда. Стоимость прохождения техосмотра составляет примерно 150 рублей, а размер минимальной заработанной платы 500 рублей. Насколь­ко процентов штраф превышает стоимость техосмотра, если при оплате штрафной квитанции в банке с водителя возьмут 3 % за услуги банка?

Кассир 2

Задача № 3.2. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один ме­сяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Водитель машины

Вы хороший водитель, но вот техосмотр не прошли, вместо та­лона у вас висит календарик, вот вас и оштрафовали. Обрати­тесь к кассиру 1: «Вы не могли бы посчитать, на сколько про­центов я заплачу штрафа больше от суммы техосмотра». Затем вы вспоминаете, что забыли заплатить за занятия ребенка в му­зыкальной школе. Обратитесь к кассиру 2: «Я просрочил опла­ту на неделю, сколько же теперь придется заплатить?».

Бланки 4-й группы «Банковские операции»

Управляющий

Задача № 4.1. За хранение денег Сбербанк начисляет вкладчику 8 % годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счету вкладчика через год, через пять лет?

Задача № 4.2. На данной диаграмме изображен рост вклада в сбербанке. С помощью диаграммы определите величину первоначального вклада и процентную ставку. Запишите формулу увеличения вклада и вычислите, какую сумму получит вкладчик через 12 лет?

Рост вклада 35832

Сроки, годы

Бухгалтер

Задача № 4.1. За хранение денег Сбербанк начисляет вкладчику 8 % годовых. Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счету вкладчика через год, через пять лет?

Экономист

Задача №4.2. На данной диаграмме изображен рост вклада в сбербанке. С помощью диаграммы определите величину первоначального вклада и процентную ставку. Запишите формулу увеличения вклада и вычислите, какую сумму получит вкладчик через 12 лет?

Рост вклада 35832

Сроки, годы

Вкладчик

Вы любите делать вклады, покупать ценные бумаги. Вы - «но­вый русский». В данном банке у вас два счета. Обратитесь к бухгалтеру с вопросом: «Сколько у меня будет денег через год, через пять лет, если не брать процентные начисления?». А к эко­номисту: «Вы не подскажете, я не помню, какую сумму первона­чально положил на счет и сколько будет через 12 лет на счете».

Бланки 5-й группы «Голосование»

Председатель счетной комиссии

Задача №5.1. В 2004 году в выборах Президента РФ на изби­рательном участке № 356 приняло участие 56 % избира­телей от общего числа 2844 человека. За Путина В. В. от­дали голоса 1069 пришедших на выборы избирателей, за Ирину Хакамаду проголосовало 78 человек. Выборы счи­таются состоявшимися. Кто из кандидатов победил на этом участке (победитель должен преодолеть 50 % барь­ер) и на сколько процентов обогнал своего соперника?

Задача № 5.2. Из 550 учащихся школы в референдуме по во­просу о введении ученического совета участвовали 88 % учащихся. На вопрос референдума 75 % принявших уча­стиев голосовании ответили «Да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Член избирательной комиссии

Задача №5.1. В 2004 году в выборах Президента РФ на изби­рательном участке № 356 приняло участие 56 % избира­телей от общего числа 2844 человека. За Путина В. В. от­дали голоса 1069 пришедших на выборы избирателей, за Ирину Хакамаду проголосовало 78 человек. Выборы счи­таются состоявшимися. Кто из кандидатов победил на этом участке (победитель должен преодолеть 50 % барь­ер) и на сколько процентов обогнал своего соперника?

Участник ученического совета

Задача№ 5.2. Из 550 учащихся школы в референдуме по во­просу о введении ученического совета участвовали 88 % учащихся. На вопрос референдума 75 % принявших уча­стиев голосовании ответили «Да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Избиратель

Вы очень любите ходить на всякие митинги, собрания. Вам лет 70. Вот и сейчас после выборов президента вас очень интересу­ет вопрос: «Кто из кандидатов победил на вашем избиратель­ном участке и на сколько процентов опередил своего соперни­ка?». Обратитесь с этим вопросом к члену избирательной ко­миссии. Но вы так же хотите узнать, как прошел школьный референдум вашего внука: «Сколько же процентов учащихся проголосовало за введение ученического совета?». Обратитесь с этим вопросом к участнику ученического совета.

Бланки ответов команд

Бланк ведущего для подсчета баллов команд

Действия каждого оцениваются:

«+» - 2 балла, «±» - 1 балл, «–» - 0 баллов.

Ответы:

Распродажа.№ 1.1.8400 р. № 1.2.195 р.

Тарифы.№ 2.1. Более чем на 100 %. № 2.2. К увеличился на 1,7 %.

Штрафы. № 3.1. На 72 %. № 3.2. 320 р.

Банковские операции. № 4.1. 5400 р.; 7346 р. 64 к. № 4.2. 89 тыс. р.

Голосование. № 5.1. Путин В. В., на 42 %. № 5.2. 66 %.