О системе работы учителя математики

Дамбаева Валентина Матвеевна

МАОУ «СОШ №25», г. Улан-Удэ

Учитель математики

О системе работы учителя математики.

ВXVII в. Ян Амос Коменский (1592-1670) издает свою книгу «Великая дидактика» (1657) и этим закладывает основы науки педагогики, а в XVIII в. Иоганн Генрих Песталоцци (1746-1827) издает книги по методике обучения детей родному языку и началам арифметики («Как Гертруда учит своих детей», 1801 г., и др.). К настоящему времени методика преподавания математики выросла в самостоятельную дисциплину педагогического цикла. Отметим и другое мнение, принадлежащее математику и методисту Д.Пойа. В книге «Математическое открытие», Пойа пишет, что преподавание не есть наука, не есть и искусство; он считает, что преподавание есть мастерство, хотя вместе с тем указывает, что учитель должен в некоторой степени владеть приемами сценического искусства. В этой же книге Пойа говорит, что для развития мышления ученика при обучении большое значение имеет подбор решаемых задач и упражнений. Здесь Пойа, как мы считаем, недооценивает значение методики изучения теоретического материала и методики решения задачи, вернее, поиска решения, т. е. методики преподавания математики. Безусловно, методика преподавания математики есть наука. Однако необходимо учесть следующее. В процессе обучения, на уроке, центральной фигурой является учитель, т. е. лицо, обладающее определенными индивидуальными свойствами. Если наблюдать уроки разных учителей математики по одной и той же теме, естественно с различным составом учащихся, то каждый урок будет иметь свои отличительные особенности, обусловленные индивидуальными особенностями личности учителя. Но ведь это имеет место и в любой другой деятельности человека. Естественно, что более рельефно индивидуальные особенности проявляются в работе художника, артиста. Однако не менее они заметны и в работе учителя.

Как и при индивидуальных особенностях врача, медицина не перестает быть наукой, так и при индивидуальных особенностях учителя математики нельзя не считать наукой методику преподавания математики.

Отметим важную особенность самостоятельной деятельности учителя: в совершенствовании методики преподавания математики исключительное значение имеет взаимное посещение уроков и их последующий анализ. Это в первую очередь относится к молодым педагогам; не вызывает сомнений положительное влияние всего того лучшего, что накоплено наиболее опытными учителями математики.

Учителю, в том числе и начинающему, следует воспитывать в себе тщательность в подготовке к каждому уроку. Учитель, даже если он опытный, должен знать, понимать и помнить, что для овладения методикой ведения урока необходимо продумывать и мысленно излагать последовательно весь материал урока, представляя себе класс, учащихся, свое место в классе в различное время урока, записи на доске, последовательность вопросов для учащихся при объяснении нового материала и при его закреплении, задание на дом и указания к его выполнению, т. е. весь ход предстоящего урока. Обязательным элементом является самоанализ проведенного урока, выявление возникших затруднений у учащихся, их ошибки и т. п. Вместе с тем следует отмечать, что удалось хорошо провести на уроке, что вызвало особый интерес у учащихся т. д.

Обращаем внимание учителя на то, что, критически оценивая и анализируя методические материалы, следует отбирать для себя наиболее соответствующие своей индивидуальности, проверяя отобранное непосредственно в работе с учащимися на своих уроках. Собственный личный опыт работы в школе по преподаванию математики в значительной мере позволяет овладеть методикой. С другой стороны, начинающий работать учитель уже должен иметь некоторый определенный методический «багаж», опираясь на который учитель будет проводить работу с учениками.

При знакомстве с учебниками, с методической литературой рекомендуем учителю руководствоваться следующими принципами или критериями:

Принцип 1.Принцип научности.Содержание этого принципа состоит в том, что при изложении программного материала необходимо обеспечивать научность излагаемого, не сообщать учащимся материала, который в последующие годы придется изменять, заменяя его на противоположный. К сожалению, не всегда в учебном процессе преподавания математики обеспечивается выполнение принципа научности. Приведем примеры нарушения этого принципа.

Еще в начальных классах учащиеся усваивают положение, что из меньшего числа вычесть большее нельзя. Иногда это повторяется и в 5 –м классе при систематизации действий с натуральными числами, а в6-ом класса при ознакомлении с отрицательными числами учащимся приходится «привыкать» к выполнению действия вычитания из меньшего большего. Что требует в данном случае принцип научности?

В курсе алгебры 7-го класса при изучении квадратных уравнений говорится, что если дискриминант квадратного урав­нения — отрицательное число, то уравнение корней не имеет. И в этом случае отсутствуют указания на то,что решение рассматривается для действительных чисел. При знакомстве с ком­плексными числами в 10 классе учащиеся будут переучиваться.

Принцип 2.Процесс обучения математике, как и вообще обучение, и воспитание, неразрывно связан с формированием материалистического мировоззрения, активной жизненной пози­ции. Необ­ходимо, чтобы в процессе обучения каждый ученик осознавал, что его основная трудовая деятельность в настоящий момент — это деятельность по усвоению знаний, умений и навыков по всем предметам, в том числе и по математике. Важно воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебе. В обучении воспи­тывается не только внимание, прилежание, стремление осознать изучаемый конкретный материал, но в, то, же время уважение и внимание к своим товарищам.

Выработка навыков сосредоточенности и умений выполнять работу наиболее оптимальным способом способствует меньшей затрате времени. Учитель в своей работе с учащимися на своем личном примере воспитывает эти качества. Он учит учащихся учиться. Это значит, что он раскрывает учащимся смысл того, что значит знать и уметь.

В обучении математике закладываются основы материали­стического мировоззрения в комплексе с обучением другим пред­метам: физике, химии и др.. В процессе изучения программного материала по математике учащимся разъясняется, что основные понятия математики связаны с реальными явлениями и практи­ческими задачами развития производства, техники, благодаря чему обеспечивается возможность приме­нения математики к изучению процессов природы, закономер­ностей развития производства и других явлений и процессов. Так, в 4-м классе систематизацию материала о натуральных числах можно связать с возникновением десятичной системы счис­ления. Важно здесь, чтобы в сознании учащихся были сформулированы представления о натуральных числах в связи с необхо­димостью производить счет реальных предметов, что натуральные числа — абстрагированные от конкретных вещей символы (число «два», например, как общее свойство или характеристика мно­жеств — пара рук, пара глаз, пара ног и т. д.) Аналогично введе­ние дробей, и в частности десятичных, связано с необходимостью более точного измерения различных величин (длин, площадей, масс, температур и др.). С десятичными дробями тесно связана метрическая система мер, и только измерение времени произво­дится по системе счисления с основанием 60 (или 12) Аналогично отрицательные числа связаны с величинами, особенностью ко­торых является их направленность, а в дальнейшем переход к понятию вектора.

То же самое следует проводить и в геометрии. Сам термин «геометрия» происходит из двух слов: «гео» — земля и «метрио» измеряю. Это указывает на тесную связь геометрии с измерениями. Древнегреческий историк Геродот (V в н э) пишет, что в Египте при разливе реки Нил приходилось переизмерять земельные участки. При строительстве пирамид, зданий требова­лось измерять и вычислять длины, площади, объемы, строить прямые углы. При развитии торговли явилась потребность строить суда для перевозок по морям, что также вызывало развитие геометрии. Решением таких задач занимались не только в Греции, Египте, но и в Вавилоне, Индии, Китае. Но только в Древней Греции в III в. до н. э сложилась дошедшая до нас научная систе­ма геометрических знаний, сочинение «Начала» математика Евклида.

Все геометрические образы являются абстракциями реально существующих в природе различных предметов. Так кристалл поваренной соли имеет форму куба. Многие кристаллы других веществ имеют форму, близкую к фигурам, изучаемым в геометрии. Изображение точки карандашом на бумаге или мелом на доске — модели геометрической точки. В геометрии точка не имеет, какой либо массы, не занимает какую-либо часть пространства. Аналогично для прямой. Одной из ее моделей является отвес или туго натянутая нить. Из жизненного опыта и практики люди убедились, что кратчайшим расстоянием между двумя точками является соединяющая их прямая. Это свойство прямой, неодно­кратно наблюдаемое в практике, вероятно, служит основой одной из аксиом: через две точки можно провести только одну прямую. Образ плоскости возникает так же, как абстракция спокойной поверхности воды в реке, поверхности стекла, стола и т. д.

Принцип 3. Планировать изучаемый, материал на данный урок рекомендуется так, чтобы он составлял некоторое законченное целое, имел логическую завершенность. Логическая закончен­ность учебного материала урока является одним из факторов, способствующих прочности знаний учащихся. В этом отношении, конечно, имеет значение и логическая законченность программно­го материала каждого года обучения, школьной программы в целом. Однако возможности учителя в этом вопросе ограничи­ваются только рамками урока.

Заметим, что в базисной программе по математике заложено стремление ликвидировать один из дефектов программы в логи­ческом отношении. Вопрос идет о теме «Комплексные числа». Этим восстановлена за­конченность учения о числе в школе, и благодаря этому курс школьной алгебры получил логическую завершенность, в част­ности теория решения алгебраических уравнений. Для обеспечения прочности знаний учащихся наряду с ло­гической завершенностью изучаемого материала на уроке играет не меньшую роль систематичность и плановость изучаемого материала. В основном они обеспечиваются программой и учеб­никами, однако это в большей мере выполняется только в отно­шении теоретического материала. Систематичность и последо­вательность использования системы упражнений зависят целиком от учителя. Подбор упражнений из учебника или других пособий, их число должен планировать сам учитель, учитывая уровень усвоения учебного материала, степень их подготовки по мате­матике, овладение соответствующими навыками.

Во всяком случае, в конце года всегда следует оставлять резерв времени на повторение пройденного за год и решение упражне­ний по всему курсу, в том числе и повышенной трудности.

Принцип 4.Одной из ведущих задач при обучении математи­ке является активизация мыслительной деятельности учащихся и развитие творческого мышления на всех этапах обучения. В этом направлении появляется необходимость постановки обуче­ния таким образом, чтобы обеспечивалось ознакомление и овла­дение методами и приемами научного творчества. Основное на­правление в методике обучения в этом отношении указывает конкретно-индуктивный метод; последовательные этапы его рас­крывают учителю схему работы с учащимися, направляют мето­дику преподавания с целью развития творческого мышления и интуиции. Можно выделить такие этапы: а) наблюдение частных случаев и поиск закономерности; б) на основе подмеченных за­кономерностей выдвижение гипотезы и проверка ее еще на част­ных случаях; в) доказательство справедливости выдвинутой гипотезы.

В своей педагогической практике мы всегда уделяли большое внимание первому из отмеченных этапов — этапу наблюдения, поиску закономерности, т. е. проведению опыта, сравнению ре­зультатов наблюдений при проводимых опытах; сюда относится поиск решения задачи путем подбора, аналогии с задачей, ре­шенной ранее, более глубокого анализа ее условия, выявления величин в условии и установления зависимости между ними на основе жизненного опыта учащихся и предшествующего обуче­ния. К сожалению, в настоящее время в связи с недостатком рабочего времени учитель не имеет возможностей уделить должное этому важному этапу работы при обучении; однако следует учесть, что время, затраченное на это, сторицей окупается за счет развития мышления учащихся и овладения методами самостоятельного поиска закономерности в изучаемых вопросах.

Этап наблюдений имеет и другое весьма важное значение: здесь обеспечивается более глубокое осознание изучаемого вопроса; в этом отношении не менее важное значение имеет и обо­снованность каждого суждения, каждого утверждения; вопросы учителя «Почему именно так?», «На основании какого свойства, теоремы?» должны всегда звучать на уроке, как при изучении нового материала, так и при решении задач. Важно приучать учащихся к тому, чтобы обосновывающий фактор автоматически сопутствовал фактору оперативному. В своей работе с учащи­мися учитель сам должен подавать пример, поясняя все проводи­мые преобразования, дополнительные построения, обосновывая утверждения и. выводы.

Такая направленность методики обучения требует от учащихся большего внимания к осознанию и овладению теоретическим материалом, и одновременно учащиеся будут знакомиться и частично овладевать методами самостоятельной, творческой ра­боты: анализом, синтезом, индукцией, дедукцией; поиск решения приведет их к использованию аналогии, сравнения и т. п.

Из всего сказанного с необходимостью вытекает следующее положение: при обучении следует уделять большое внимание обоснованности (или доказательности) всех изучаемых положе­ний, свойств и т. д. К сожалению, приходится отмечать, что в школьном курсе математики многие изучаемые положения и вопросы даются учащимся бездоказательно, принимаются на веру.

Принцип 5.Мы считаем, что вести преподавание математики в целом следует, равняясь на учащихся, успевающих по матема­тике. Это значит, что учитель, соблюдая принцип научности, приводя различные обоснования или доказательства рассматри­ваемых положений, особое внимание уделяет раскрытию и освое­нию основных понятий и положений изучаемого курса, с привле­чением лучших учащихся, их самостоятельных действий на уроке. Такая направленность обучения обеспечивает активное участие и других учащихся в общей работе класса. При этом важно не подавлять инициативу учащихся: в каждом ответе ученика сле­дует выделить в первую очередь то, что в нем правильно, рацио­нально, с тем, чтобы вселить большую уверенность учеников в своих силах и способностях и предрасположить их к участию в общей работе по изучению математики.

Сделаем еще одно существенное за­мечание. В школьном курсе геометрии имеются теоремы, которые могут быть доказаны различными способами. Рас­смотрев в классе один из способов, можно рекомендовать ученикам дома доказать ее другим способом, сообщив некоторые намеки этого другого способа. Однако после рассмотрения различных вариан­тов доказательства теоремы надо выяс­нить, какой из них является более простым и почему.

Рассмотрим примеры.

«Теорема о свойстве медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе» . Один из способов ос­нован на использовании формулы медианы косоугольного тре­угольника , так как а² + b²= с², то сразу получаем доказываемое равенство. Второй способ основан на использовании осевой симметрии и средней линии треуголь­ника (рис. 14); за ось симметрии берется катет СВ,СМ есть сред­няя линия треугольника ABA₁и потому CM =. Приведем третий способ, использующий окружность, описанную около данного прямоугольного треугольника (рис. 15) Из трех приведенных способов наиболее простым является тре­тий. При некотором намеке учителя учащиеся сами легко дока­жут свойство медианы. Вряд ли это удастся сделать при первых двух способах.

Отметим еще одно обстоятельство. Третий способ доказатель­ства, как было отмечено, является более простым, рисунок по­могает наглядно наметить доказательство. Доказательство, например, основанное на идее центральной симметрии, менее наглядно, обладает большей степенью абстракции и требует логически обоснованных рассуждений, непосредственно не под­крепляемых рисунком; это способствует в большей мере разви­тию абстрактного, логического мышления, что имеет при обучении математике весьма существенное значение. Какой же вывод можно сделать из этого примера? Нам представляется, что в ана­логичных трудных случаях учителю можно рекомендовать привести два доказательства, а может быть и более, и предоставить самим учащимся выбрать из них для себя то, которое они легче освоят. Но при этом учитель должен дать оценку каждому из доказательств, с тем, чтобы выбор учеников был более обосно­ванным. Это важно в первую очередь для хорошо успевающих учащихся.

Принцип 6.Одним из важных факторов подготовки учащихся к трудовой деятельности является темп работы на уроке. Отме­тим, что во многих случаях на уроках наблюдается отсутствие у учащихся сосредоточенного внимания, они часто механически списывают с доски решение задачи, записи учителя при объясне­нии нового и т. д.. В каждый момент урока необходимо видеть весь класс и подключать к работе учащихся, которые по той или иной причине выключились из общей работы. Часто на уроке при этом учитель делает замечание такому ученику, чтобы он был внимательней. Такие замечания не только не эффективны, но просто вредны: они отвлекают остальных учащихся класса от работы; при замечании учителя отдельному ученику часть уча­щихся непроизвольно обращает на это внимание, т. е. отвлекается от работы, и учителю придется тратить время, чтобы эффективно закончить или продолжить объяснение. Вместо замечания уче­нику полезнее предложить какой-либо вопрос по ходу, объяс­няемого или подойти к нему и сделать замечание тихо, по воз­можности избегая внимания к этому остальных учащихся класса. Сосредоточенность и внимание учащихся позволяют вести урок более быстрым темпом.

В своей практической работе мы ориентировали учащихся на своеобразную триаду: думай, делай и говори (или думай, пиши, объясняй). Таким образом, повышение темпа работы на уроке способствует повышению внимания, сосредоточенности, что в целом является важным фактором подготовки учащихся к самостоятельной работе в бу­дущем.

Принцип 7.При обучении немаловажную роль играет эсте­тическое воздействие на учащихся. В этом отношении существен­ную роль играет классное помещение и обстановка, где прово­дятся занятия. Лучше всего для занятий использовать матема­тический кабинет. Его оборудование должно быть подчинено учебным целям.

Нельзя не согласиться с высказыванием академика А. А. Космодемьянского в его книге «Теоретическая механика и современная тех­ника» (1975, с. 153), где он говорит: «Возбудить интерес к само­стоятельному творчеству, самостоятельным размышлениям можно лишь при одновременном воздействии на ум и эмоции учащего­ся». Там же автор приводит высказывание своего учителя — профессора А. П. Минакова об основных чертах правильного научного мышления:

а) умение наблюдать явление и собирать факты;

б) умение проникать в сущность изучаемого явления;

в) умение построить гипотезу относительно взаимосвязи рассматриваемых явлений;

г) умение обобщать, расширять и углуб­лять мысли и понятия;

д) умение мыслить аналогиями и моде­лировать.

Вообще не следует злоупотреблять наглядными пособиями иллюстративного характера, необходимо развивать пространст­венные представления и воображение; цель использования ил­люстративных пособий состоит в подтверждении правильности сформированных в воображении образов, пособие же не должно предварять попытки представить образ в воображении.

Важную роль играют схемы, иллюстрирующие условие за­дачи, таблицы для более компактной записи условий задач, гра­фы, позволяющие изобразить взаимосвязи между рассматривае­мыми объектами. Необходимо отметить ведущую роль чертежа-рисунка к теоретическому материалу или к задаче в курсе гео­метрии, особенно в стереометрии. Исключительно важно приучать учащихся правильно изображать пространственный образ на плоскости, используя знания по черчению, ведь в практической работе технику, инженеру часто приходится от руки «набрасывать» рисунки некоторых деталей, вид какой-либо части ее и др. При составлении чертежа-рисунка в стереометрии полезно при­менять некоторые правила технического рисования, чтобы иметь возможность от руки или с помощью только линейки возможно более быстро, но правильно и наглядно сделать рисунок к решае­мой задаче.

Некоторые выводы. Отметим индивидуальные особенности учителя математики, которые должны бы быть ему присущи:

а) уровень подготовки по специальности: глубокое знание вопро­сов школьного курса математики в свете достаточного знаком­ства с современным уровнем развития математической науки и в рамках не только программы института, но и личного зна­комства с научно-популярными изданиями ведущих ученых-математиков;

б) интерес и необходимость повышения своей науч­ной подготовки;

в) подготовленность и знание основ современной психолого-педагогической концепции обучения и воспитания школьников;

г) владение методикой преподавания математики, повышение эффективности работы по обучению и воспитанию учащихся.

Мы ставим своей задачей всемерно активизировать мысль самого учителя, научить педагога выделять основные критерии и принципы для практического анализа и отбора раз­личных приемов и способов преподавания математики при зна­комстве с учебно-методической литературой, помочь учителю выработать собственный стиль работы, отыскивать пути его со­вершенствования. Учитель должен исходить из того, что система работы учителя с учеником, выдержанная в единстве изучения теории с решением задач, обеспечивает твердые знания, форми­рование устойчивых умений и навыков, умения применять изучен­ное к решению практических задач и упражнений, способствует подготовке учащихся к самостоятельной трудовой деятельности.