Проект по математике на тему "Правильные многогранники в нашей жизни"

Министерство образования Нижегородской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Нижегородский Губернский колледж» Допустить к защите «_____»_________ ________________ ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ на тему: Правильные многогранники в нашей жизни по дисциплине: Математика Специальность ____ Операционная логистика Выполнила Студентка А.С. Никеенкова подпись Группа 11Л Руководитель Н.П. Боброва подпись г. Нижний Новгород 2019 г. Оглавление Введение 4 1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ 5 1. 1 Понятие многогранников 5 1. 2 Виды правильных многогранников 6 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ В ОКРУЖАЮЩЕМ НАС МИРЕ 8 2.1 Правильные многогранники в природе 8 2. 2 Правильные многогранники в архитектуре 9 2. 3 Правильные многогранники в живописи 9 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 11 3.1 Изготовление моделей правильных многогранников 11 Заключение 12 Список используемой литературы 13 Приложение 14 Введение Предлагаемая исследовательская работа посвящена теме «Правильные многогранники в нашей жизни». Настоящее исследование посвящено актуальной проблеме изучения функций правильных многогранников в современном мире. Правильные многогранники встречаются в природе, применяются в науке, архитектуре и многих других сферах человеческой деятельности. Отсюда и следует важность изучения этой темы и ее актуальность. Цель работы - познакомиться с правильными многогранниками и их применением в окружающем мире. Для написания проектной работы были поставлены следующие задачи: 1. Дать понятие правильных многогранников. 2. Изучить виды правильных многогранников. 3. Показать, что правильные многогранники встречаются в нашей жизни. Объектом исследования является раздел геометрии – стереометрия. Предметом исследования являются правильные многогранники. Методы исследования: теоретический (анализ, синтез), исследовательский. 1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ 1. 1 Понятие многогранников Для начала разберем понятие "многогранник". Итак, многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограничено несколькими многоугольниками [1, 152]. Вот некоторые виды многогранников: Таким образом, многогранник называется правильным, если все его грани – равные друг другу правильные многоугольники, к каждой вершине примыкает одинаковое количество граней и двугранные углы между смежными гранями одинаковы [2, 344]. Сколько же видов правильных многогранников существует? На первый взгляд ответ очевиден – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. Уже в «Началах Евклида» было строго доказано, что число правильных многогранников ограничено и что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны. Эти правильные многогранники получили название Платоновых тел. 1. 2 Виды правильных многогранников Таким образом, существуют следующие пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Рассмотрим каждый из них. Первый вид – тетраэдр. Тетраэдр - правильный многогранник, поверхность состоит из четырех треугольников [3, 15]. Тетраэдр имеет следующие характеристики: Тип грани: правильный треугольник; Количество сторон у грани равно 3; Общее число граней равно 4; Число рёбер, примыкающих к вершине: 3; Общее число вершин: 4; Общее число рёбер: 6. Второй вид – гексаэдр (или куб). Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Гекса» означает шесть, «хедра» - грань (Гексаэдр – шестигранник). Гексаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов [3, 11]. Гексаэдр имеют следующие характеристики: Тип грани: квадрат; Количество сторон у грани: 4; Общее число граней равно 6; Число рёбер примыкающих к каждой вершине: 3; Общее число вершин: 8; Общее число ребер: 12. Третий вид – октаэдр. Октаэдр – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников [3, 19]. Октаэдр имеет следующие характеристики: Тип грани: правильный треугольник; Количество сторон у грани: 3; Общее число граней равно 8; Число рёбер примыкающих к вершине: 4; Общее число вершин: 6; Общее число рёбер: 12. Четвертый вид правильного многогранника – икосаэдр. Икосаэдр – это правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников [3, 23]. Икосаэдр имеет такие характеристики: Тип грани: правильный треугольник; Количество сторон у грани: 3; Общее число граней равно 20; Число рёбер примыкающих к вершине: 5; Общее число вершин: 12; Общее число рёбер: 30. И последний вид – додекаэдр. Додекаэдр — это правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников [3, 27]. Он имеет следующие характеристики: Тип грани: правильный пятиугольник; Количество сторон у грани: 5; Общее число граней равно 12; Число рёбер примыкающих к вершине: 3; Общее число вершин: 20; Общее число рёбер: 30 2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ В ОКРУЖАЮЩЕМ НАС МИРЕ 2.1 Правильные многогранники в природе Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Рассмотрим некоторые примеры, подтверждающие это. Есть такие одноклеточные организмы — феодарии, которые живут на морской глубине, форма их очень похожа на икосаэдр. Такая природная геометризация может быть вызвана тем, что из всех правильных многогранников именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи. Также и некоторые кристаллы имеют форму правильных многогранников. Взять, к примеру, поваренную соль, без которой в жизни нельзя обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму гексаэдра (куба). А также по мнению И. Кеплера, сферы планет связаны между собой вписанными в них правильными многогранниками. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце. То есть в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в куб – сферу Юпитера, сферу Юпитера можно вписать тетраэдр, в тетраэдр – сферу Марса, в сферу Марса — додекаэдр, в додекаэдр – сферу Земли. 2. 2 Правильные многогранники в архитектуре Ещё с давних времён люди использовали многогранники в строительстве различных архитектурных сооружений. Они возводили жилища, думая при этом, в первую очередь, о прочности. Самым прочным архитектурным сооружением считаются египетские пирамиды (основой является тетраэдр). Конструкция древнеегипетской пирамиды является самой простой, прочной и устойчивой [4, 195]. Великая египетская пирамида Хеопса в Гизе – это единственное из Семи чудес света, сохранившееся до наших дней. Она стоит уже почти пять тысяч лет. Храм Артемиды Эфесской Храм достигал 109 метров в длину, 50 - в ширину. 127 двадцатиметровых колонн окружали его в два ряда, причем часть колонн были резными и барельефы на них выполнял знаменитый скульптор Скопас. Основание крыши – мраморная плита (тетраэдр). Таким образом, можно сделать вывод о том, что правильные многогранники действительно нашли широкое применение в архитектуре. 2. 3 Правильные многогранники в живописи Леонардо да Винчи (1452—1519) — титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый — увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он изобрел способ пространственного изображения многогранников, называемого сегодня методом жестких ребер и сплошных граней. Мауриц Корнелис Эшер (1898—1972) — голландский художник, в некотором роде является отцом математического искусства. Правильные многогранники имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела вселенная, то есть они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3.1 Изготовление моделей правильных многогранников Раздел геометрии о фигурах в пространстве называется стереометрия. Некоторые полагают, что изучение стереометрии затруднено тем, что многим людям препятствует недостаточно развитое пространственное воображение. На самом деле, это не совсем так, и способность представлять пространственные тела, мысленно перемещать их и трансформировать развита абсолютно у каждого человека. Другое дело, что это пространственное воображение далеко не всем удается использовать при изучении стереометрии, вернее, перенести свой житейский «пространственный» опыт в учебный процесс. Отчасти это обусловлено тем, что стереометрические изображения выполняются на плоской поверхности листа бумаги или доски. Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть её на плоскости, то получится развёртка многогранника. Изготовляя модели многогранников по развёрткам, у нас появятся навыки преобразования плоских форм в объемные. Также развивается такая способность, как раскладывать объемные формы на простые плоские. Другими словами, увидев предмет в реальном мире, мы можете создать его развертку из бумаги, и, склеив, получить модель любого объемного предмета. Заключение В процессе работы мы выяснили, что многогранники играют немало важную роль в окружающем нас мире. Многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду. Многие сооружения, возведённые человеком, имеют форму многогранников. Проделанная работа помогла узнать и убедиться в том, что многогранники на протяжении всей истории человечества не перестали очаровывать симметрией и совершенством своих форм. Мы рассмотрели правильные многогранники, рассмотрели развёртки правильных многогранников, сумели сами выполнить модели многогранников. Убедились, что не человек, а природа придумала эти удивительные формы. Список используемой литературы 1. Гусев, В. А. Геометрия: учебное пособие для среднего профессионального образования / В. А. Гусев, И. Б. Кожухов, А. А. Прокофьев. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2020. — 280 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-08897-7. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/449003 (дата обращения: 17.12.2019). 2. Богомолов, Н. В. Математика: учебник для среднего профессионального образования / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Издательство Юрайт, 2020. — 401 с. — (Профессиональное образование). — ISBN 978-5-534-07878-7. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/449006 (дата обращения: 28.01.2020). 3. Смирнова, И. М. Правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники: учебное пособие / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. — Москва: Издательство МЦНМО, 2010.— 136 с. 4. Волошинов А. В. Математика и искусство / А. В. Волошинов. – 2-е изд., Москва: просвещение, 2000.-400 с.