Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса
1. Докажите, что при любом натуральном п делится на 3.
2. Построить график функции .
3. При каких значениях параметра k четыре точки A(0; k), B(1; 2 – k), C(2; k), D(k; 7k – 6) различны и лежат на графике квадратного трехчлена?
4. В трапеции ABCD длина основания AD равна , а длина основания BC равна. Угол ÐA = 15°, ÐD = 30°. Найдите длину боковой стороны AB.
5. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Если из суммы квадратов цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то в результате получится данное двузначное число. Найти это число.
6. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек и т. д. по исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран.
7. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
______________________________________________________________________________________________
Ответы и решения
1. Докажите, что при любом натуральном п делится на 3.
Решение.
, т. к. первое слагаемое – это произведение трех последовательных натуральных чисел, т. е. оно кратно 3, а второе слагаемое содержит множитель 3, значит и вся сумма кратна 3
2Построить график функции
Решение.
3. При каких значениях параметра k четыре точки A(0; k), B(1; 2 – k), C(2; k), D(k; 7k – 6) различны и лежат на графике квадратного трехчлена?
Решение.
Заметим, что точки A и C имеют разные абсциссы, но одинаковые ординаты. Следовательно, если через них проходит график квадратного трехчлена, то вершина параболы графика лежит ровно посередине между A и C, т. е. в точке (0 + 2)/2 = 1. Квадратный трехчлен с вершиной в точке 1 имеет вид . Напишем условия, что он проходит через точки A, B, C, D:
1) A:
2) B:
3) C:
4) D:
Подставим второе условие в первое: .
Подставим p = 2 – k и a = 2k – 2 в четвертое условие:
, при
(корень k = 1 не подходит, в этом случае точки B и D совпадают).
Далее, или k = 3. Ответ: -1; 3.
4У Василия было много яблок, и он решил отдать их своим друзьям. Когда друзья пришли, он распределил яблоки между ними, причем всем досталось поровну. Неожиданно подошел еще один друг, яблоки пришлось перераспределить, и опять всем досталось поровну, но теперь на 15 штук меньше, чем в прошлый раз. Когда подошел еще один друг, яблоки снова перераспределили, опять всем досталось поровну, но в этот раз еще на 9 штук меньше. Сколько яблок было у Василия и сколько в конце концов к нему пришло друзей?
Решение.
Обозначим через N количество яблок у Василия, через f – количество друзей Василия, которое пришло к нему вначале, через p – количество яблок, которое досталось каждому другу вначале. Мы можем написать три уравнения:
1) N = fp пока не подошли два последних друга
2) N = (f + 1) (p – 15) до того как подошел последний друг
3) N = (f + 2) (p – 15 – 9) после того как подошли все друзья
Преобразуем все три уравнения, раскрыв скобки:
1) N = fp
2) N = fp – 15f + p – 15
3) N = fp – 24f + 2p – 48
Внимательный взгляд на полученное позволяет сделать вывод:
1) – 15f + p – 15 = 0
2) – 24f + 2p – 48 = 0
Из первого уравнения удается найти p = 15f + 15, подставляем это во второе уравнение,
– 24f + 2 (15 f + 15) – 48 = 0 6f – 18 = 0 f = 3. Итак, вначале к Василию пришло 3 друга, т. е. всего у него в конце было 5 друзей. Найдем количество яблок N у Василия: p = 15f + 15 = 60, окончательно N = fp = =180
Ответ: 180, 5
5.В трапеции ABCD длина основания AD равна , а длина основания BC равна. Угол ÐA = 15°, ÐD = 30°. Найдите длину боковой стороны AB.
Решение.
Проведем BK параллельно CD. Заметим KD || BC, KB || DC, следовательно, KBCD параллелограмм и KD = BC = . AD – секущая параллельных прямых BK и CD, следовательно ÐAKB =ÐADC = 30°.
Далее найдем длину отрезка AK = AD – KD = . Боковую сторону AB теперь можно найти по теореме синусов для треугольника ABK: . При этом ÐABK = 180° – ÐAKB – ÐBKA = 180° – 30°– 15° = 135°.
И sin 135° = . Теперь можно найти AB, она получается равной 1. Ответ: 1.
6. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 7. Если из суммы квадратов цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то в результате получится данное двузначное число. Найти это число.
Решение.
Пусть а – цифра десятков, b – цифра единиц в числе, тогда число запишем как . Составим по условиям задачи систему уравнений
Из первого уравнения следует, что . Так как а – цифра, то bделится на 7 без остатка и может принимать два значения: 0 или 7. В первом случае a = 1, а число 10 делится на 1 без остатка. Во втором случае a = 3, а число 37 является решением второго уравнения, то есть является и решением задачи. Ответ: 37.
7. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки, за четвертую – 8 копеек и т. д. по исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 копеек. Спрашивается число его ран.
Решение.
1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n = 65535 – это сумма геометрической прогрессии, где а1 = 1, а2 = 2, и т. д. Таким образом, q = 2. Формула суммы геометрической прогрессии
Ответ: 16.
8. Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были так же трех цветов. Только у Тамары цвета платья и туфель совпадали. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.
Решение.
Имя | Белое платье | Красное платье | Голубое платье | Туфли |
Тамара | - | + | - | Красные |
Лида | + | - | Голубые | |
Валя | + | Белые |
Ответ: у Тамары были красные туфли и платье, у Вали – белые туфли и голубое платье, у Лиды – белое платье и голубые туфли.
Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса2010 – 2011 учебный год
1. Решите уравнение: )
2. Найдите значение выражения: .
3. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
4. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих условию .
5. Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
6. В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Задания школьной олимпиады по математике для 11 класс2010 – 2011 учебный год
1. Решите уравнение:
2. Найдите значение выражения: .
3. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
4. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих условию .
5. Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
6. В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!
Решения и ответы
Задание 1. Решите уравнение:
Решение. ОДЗ: все значения переменной, кроме 3 и -3.
Преобразуем данное уравнение к виду
Ответ: 0; 4.
Задание 2. Найдите значение выражения соs260ºsin130ºcos160º.
Решение.
соs260ºsin130ºcos160º=cos(270º-10º)sin(180º-50º)cos(180º-20º)=sin10ºsin50ºcos20º= =0,5(cos40º-cos60º)cos20º = 0,5·(cos40º- 0,5)cos20º = 0,25·(2cos40º -1)cos20º= =0,25·(2cos40ºcos20º-cos20º)=0,25·(cos20º+cos60º-cos20º)=0,25cos60º=0,25·0,5=0,125.
Ответ: 0,125.
Задание 3.В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.
Решение:
Площадь четырехугольника найдем по формуле S = p ∙ r, где p – полупериметр четырехугольника, r – радиус вписанной окружности. Так как в четырехугольник вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна, т. е. 2 + 4 = 3 + х, где х – четвертая сторона. Отсюда х = 3см. Тогда p = ½ (2 + 3 + 3 + 4) = 6см. По условию r = 1,2 см. Таким образом, S = 6 ∙ 1,2 = 7,2 смОтвет: 7,2 см2.
Задание 4. ) Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения
(а – 2)х2 – 2ах + а + 3 = 0 положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих условию |а| ≤ 10.
Решение:
Заметим, что заданное уравнение не для всех значений а является квадратным. При а = 2 это уравнение первой степени -4х + 5 = 0, которое имеет положительный корень х = 1,25. Следовательно, значение а = 2удовлетворяет условию задачи.
При а ≠ 2 данное уравнение является квадратным.
Чтобы корни рассматриваемого уравнения были положительны, необходимо выполнение условий.
Кроме того, нужно чтобы дискриминант исходного уравнения D = (2а)2 – 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 – а) был неотрицательным. Получим а(-∞;6].
Общая часть полученных интервалов а ∈ (-∞;-3) ∪ (2;6]. Учитывая значение а = 2, полученное при рассмотрении линейного уравнения, находим окончательно а (-∞;-3) ∪ [2;6].
Условию |а| ≤ 10 соответствует а [-10;10]. Выпишем целые значения параметра а, удовлетворяющие полученному решению и указанному условию: {-10; -9; -8; -7; -6; -5; -4; 2; 3;4; 5; 6} – таких значений оказалось двенадцать.
Ответ: 12.
Задание 5. Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
Показать решение
Решение: Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.
Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.
Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300. В результате у него будет 498 долларов.
Задание 6. (9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!
Решение:
Двузначные числа, делящиеся на 17 - это 17, 34, 51, 68, 85.
Двузначные числа, делящиеся на 23 - это 23, 46, 69, 92.
По условию задачи выписываем после цифры 3 такую цифру, чтобы образовавшееся двузначное число делилось на 23 или на 17. Это может быть только цифра 4 (т. к. 34 делится на 17, других двузначных чисел, где цифра десятков 3, делящихся на 17 или 23, нет). После цифры 4 может быть только 6, а после 6 может быть 9 или 8.
Рассмотрим первый случай, когда после цифры 6 запишем цифру 9. Тогда получим последовательность 34692│34692│34692…. Замечаем, что цифры с периодом Т = 5, повторяются. Всего цифр по условию задачи 2007, значит 2007 : 5 = 401 (остаток 2). Поэтому в этом случае на последнем месте будет стоять вторая цифра из периода – это цифра 4.
Рассмотрим второй случай, когда после цифры 6 запишем цифру 8, тогда получим 3468517, а дальше ряд обрывается, т. к. нет двузначного числа, делящегося на 17 или 23, где цифра десятков равна 7. Но эта цепочка цифр может заканчивать последовательность 346992│34692│…..34685│17 и тогда на последнем месте будет цифра 7.
Ответ: 4 или 7.
