АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Математика»
на тему «Теория вероятности и ее применение »
Выполнила студентка группы: 20-ПД1-9
Специальность: Правоохранительная деятельность
ФИО: Казарина Валерия Александровна
Руководитель: Преподаватель математики
Ширяева Е.А
Подпись_____________
Краснодар, 2021
Содержание
Введение…………………………………………………….……………………..3
Теория вероятностей …………………….……………….……………………....5
История возникновения теории вероятностей………………….…....………….5
Основная формула теории вероятностей………………………………………..6
Классификация событий…………...……………………………………….…….8
Задачи на определение классической вероятности …………………………...10
Заключение……………………………………………………………...………..12
Список использованных источников…………………………………………...13
Введение
Людей всегда интересовало будущее. Человечество всё время было в поисках способа его предугадать, или спланировать, в разное время разными методами. В наше время есть теория, которую наука признает и пользуется для планирования и прогнозирования будущего. Речь идет о теории вероятностей.
Теория вероятностей считается одним из классических разделов математики. Вероятностные и статистические методы в реальное время глубоко проникли в нашу жизнь. Случай, случайность – с ними мы встречаемся каждый день. Как возможно «предвидеть» наступление случайного события? Так как оно может произойти, а может и не сбыться! Казалось бы, здесь нет места для математики. Но математика нашла методы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они дают возможность человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.
Цель: познакомится с историей возникновения теории вероятности определить ее значение в современном мире.
Задачи:
1.собрать и изучить материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;
2.Познакомиться с основной формулой теории вероятности;
3.Научиться решать задачи на определение классической вероятности
Актуальность:
Вероятность — одно из основных понятий не только в математической статистике, но и в жизни любого человека. Так каждому из нас каждый день приходится принимать множество решений в условиях неопределенности.
Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Как ни странно, но человек часто применяет теорию
4
вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы и распределения кривой вероятности, и это не обязательно. Жизненный опыт, логика и интуиция всегда подсказывают человеку его шансы на удачу, будь то поступление на работу, карьера, личная жизнь, решение проблем, возможность выигрыша и т.п.
Гипотеза:
С помощью теории вероятностей можно с большой степенью уверенности предсказать события, происходящие в нашей жизни.
5
Теория вероятностей
Теория вероятностей — это раздел математики, который занимается анализом случайных событий. С её помощью можно вычислить вероятность события — оно показывает насколько вероятно, что какое-то событие произойдёт. Это число всегда находится в интервале между 0 и 1, где 0 — означает невозможность, а 1 — оно точно произойдёт (достоверное событие). Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины.
История возникновения теории вероятностей
Французский дворянин, неизвестный господин де Мере, был азартным игроком в кости и всем сердцем хотел разбогатеть. Он потерял много времени, чтобы открыть загадку игры в кости. Он придумывал различные версии игры, полагая, что таким образом получит крупное состояние. Так, например, он предлагал бросать одну кость по очереди 4 раза и убеждал партнера, что по крайней мере один раз выпадет при этом шестерка. Если за 4 броска шестерка не выходила, то выигрывал соперник.
В тот период еще не существовала отрасль математики, которую на сегодняшний день мы называем теорией вероятностей, а поэтому, чтобы убедиться, верны ли его предположения, господин Мере обратился к своему знакомому, известному математику и философу Б. Паскалю с просьбой, чтобы он рассмотрел два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам. Вопросы были такие:
Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?
Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?
Паскаль не только сам проявил интерес, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем подтолкнул его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.
6
Таким образом, азарт и желание разбогатеть дали толчок началу новой математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основных положений принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840). В наше время теория вероятности применяется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и т. д.
Основная формула теории вероятностей
При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: случайные, достоверные, равновероятные, невозможные.
Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.
Невозможным событием называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента.
Классическое «определение» вероятности исходит из понятия равновозможности (равновероятности), как объективного свойства изучаемых явлений. Равновозможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения «решки» перед
«орлом» или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными.
Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идёт об исходах,
7
наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.
Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:
Вероятностью события А называется отношение числа m благоприятных для этого события исходов к n числу всех равновозможных исходов. Вероятность выражают в процентах.
Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность)
m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию
n – число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
P(A) =m/n
Классическое определение вероятности используется для выявления
благоприятных исходов теоретическим путем.
Свойства вероятности:
Свойство 1. Вероятность достоверно события А равна единице. Р(А)=1
Свойство 2. Вероятность невозможного события В равна нулю. Р(В)=0
Свойство 3. Вероятность случайного события С – это положительное
число, заключенное между нулем и единицей.
Классификация событий
Событие – это исход наблюдения или эксперимента.
События бывают двух видов – случайные и неслучайные. Случайным событием называется то событие, которое может, как произойти, так и не произойти. Неслучайное событие – это то событие, которое может либо произойти обязательно, либо в данных условиях не происходящее.
8
Неслучайные события делятся на две группы.
Случайные события делятся больше чем на две группы. О видах случайных и неслучайных событий ниже.
Неслучайные события делятся на две группы – достоверные события и невозможные события. Достоверным событием называют то событие, которое обязательно произойдет. Такое событие обозначается буквой E. Невозможным событием называют то событие, которое в данных условиях произойти не может. Такое событие обозначается буквой U.
Вероятность достоверного события всегда равна 1. Вероятность невозможного события всегда равна 0. Например, если из урны только с черными шарами вытащить шар, то достоверным событием будет то, что вытащенный шар окажется, черным. А невозможным событием будет то, что вытащенный шар окажется белым.
Случайные события тоже делятся на несколько групп. В этом подпункте поговорим о совместных, несовместных и противоположных событиях. Совместным событием называются два события, которые могут произойти в
результате опыта одновременно. К примеру, при бросании игральной кости события «2» и «четное число» являются совместными событиями.
Несовместным событием называют два события, которые не могут произойти одновременно в результате опыта. Допустим, при однократном бросании монеты события A и B, то есть одновременное выпадение орла и решки монеты, являются несовместными. Противоположными событиями называют те два события, которые противоположны друг другу. Например, события «Я сорву розы» и « Я не буду срывать розы» являются противоположными. Следовательно, с каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется.
9
Существуют еще две группы случайных событий – зависимые и независимые события. Независимыми событиями называют события если, условная вероятность каждого из них равна безусловной вероятности, то есть если P(AB) = P(A). Где P- вероятность события, A – одно событие, B – другое событие. - обозначает условную вероятность.
Зависимыми событиями называют события, если, условная вероятность
каждого из них не равна безусловной вероятности, то есть если P(AB)≠P(A). К примеру, из урны с тремя белыми и семью черными шарами последовательно извлекают два шара. Если первый вынутый шар не возвращается в урну, то события B и B1 зависимые; в случае возвращения в урну первого вынутого шара события B и B1 будут независимыми. Смысл независимости случайных событий заключается в том, что вероятность появления одного события не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Независимые события являются результатом не связанных между собой испытаний. А для зависимых событий вероятность появления одного события зависит от того, произошло или не произошло другое событие.
Задачи на определение классической вероятности
Задача 1. На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Решение.Число благоприятных исходов –это и есть число участников семинара из России. Их пятеро. Общее число исходов 6+5+9=20, -это количество учёных, участвующих в семинаре. Итак, искомая вероятность равна 5/20=0,25
Замечание:решительно всё равно, каким по счёту, восьмым, как в условии
задачи, или первым, вторым, третьим, …, двадцатым будет выступать
10
российский докладчик. Искомая вероятность зависит только от количества российских учёных и общего количества участников.
Ответ:0,25.
Задача 2. В кармане у Дани было пять конфет—«Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи,
Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».
Решение.Конфета «Взлётная» - одна, всего конфет – 5. Вероятность того, что выпала именно она, равна
Ответ: 0,2.
Задача 3. На борту самолёта 26 мест рядом с запасными выходами и 10 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны дляпассажира высокого роста. Пассажир Д. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Д. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Решение:Удобных для пассажира Д. мест 26+10=36. Общее число мест для пассажиров -300. Значит, искомая вероятность равна
Задача 4. На экзамене будет 50 билетов, Оскар не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение:Невелик у Оскара шанс получить выученный билет:.7/50=0,14
Ответ: 0,14.
Задача 5. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день—18 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется доклад профессора М.
Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
11
Решение:Последний день конференции – третий. Количество докладов,
запланированных во второй, а также и в третий день конференции: 50-18/2=16. Это и есть число благоприятных для профессора М. исходов. Вычисляем вероятность выступления докладчика в третий день:.16/50=0,32
Ответ:0,32.
12
Заключение
Во-вторых, познакомилась с основной формулой теории вероятности;
В-третьих, научилась решать задачи на определение классической вероятности.
Следовательно выдвинутая мной гипотеза подтвердилась, с помощью теории вероятностей я доказала, что происходящие в нашей жизни события можно предсказать.
Мы познакомились с определением теории вероятностей. Изучили историю возникновения. Узнали, что теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от определяемого. Практическое применение теории вероятностей велико. Человек часто применяет теорию вероятностей в повседневном быту, хотя может и не знать математические формулы. С помощью формул и примеров научились решать задачи на определение классической вероятности.
Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ее положения и возможности, можно утверждать, что возникновение данной теории не было случайным явлением в науке, а было вызвано необходимостью дальнейшего развития технологии.
13
Список использованных источников
Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн (studfile.net)
Проект по математике "Теория вероятности и ее применение" | Образовательная социальная сеть (nsportal.ru)
Сборник задач по теории вероятностей (с решениями) | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9, 11 класс): | Образовательная социальная сеть (nsportal.ru)
Исследовательская работа "Теория вероятностей" (infourok.ru)
Способы решения задач по теории вероятностей ЕГЭ по математике базового уровня (1sept.ru)
14
