АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по дисциплине «Математика»
на тему: «Методы подобия в задачах на построение»
Выполнила студентка группы: 20-ПД1-9
Специальность:
Правоохранительная деятельность
ФИО: Филиппова Юлия Андреевна
Руководитель: Ширяева Елена Александровна
Краснодар, 2021
СОДЕРЖАНИЕ
1) Основные этапы решения задач на построение…………………………......3
2) Методика решения задач на построение……………………………………...4
3) Рекомендации по методу подобия…………………………………………….4
4) Примеры рассуждения при решении задач…………………………………..6
5)Мои личные рекомендациипо решению задач на построение……………..8
1.Основные этапы решения задач на построение
Решение задачи на построение обычно включает четыре этапа:
анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый из них в отдельности.
Анализ.
На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности, алгоритма, состоящего из основных или элементарных построений, приводящих к построению искомой фигуры. Как и решение геометрической задачи на вычисление и доказательство, поиск такого алгоритма сопровождается чертежом, иллюстрацией, помогающими установить связи и зависимости между данными и искомыми фигурами.
Построение.
Этот этап решения представляет собой непосредственную реализацию на чертеже найденного алгоритма с помощью выбранных инструментов построения.
Доказательство.
Его цель - доказательство того, что построенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
Исследование.
Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет. При этом разными считаются решения, дающие неравные фигуры (или если и равные, то различно расположенные относительно фигуры, с которой связывалось построение).
Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.
Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.
Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.
Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.
При разработке метода подобия целесообразно классифицировать решаемые задачи по способу задания размеров искомой фигуры:
1) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием некоторого отрезка;
2) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков;
3) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются положением ее относительно данных фигур.
Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой из трех групп задач способы выбора центра подобия различны.
В задачах из первой группы за центр подобия лучше всего выбирать один из концов отрезка вспомогательной фигуры, соответствующего данному отрезку, через который проходит наибольшее число прямолинейных отрезков искомой фигуры.
При таком выборе легко находить одну точку (второй конец данного отрезка) искомой фигуры, что в большинстве случаев значительно облегчает выполнение дальнейшего построения.
И для задач второй группы за центр подобия можно выбирать один из концов построенной суммы или разности отрезков, соответствующей данной. Целесообразно расчленить подобное преобразование: отдельно найти один из отрезков, сумма или разность которых дана, а затем выполнить построение искомой фигуры.
При решении задач третьей группы центр подобия уже определяется, и в большинстве случаев однозначно, расположением фигуры, подобной искомой, относительно данных фигур.
Суть заключается в следующем: сначала строится фигура подобная данной, затем эта фигура увеличивается (уменьшается) в нужном отношении (т.е. строится подобная фигура), удовлетворяющая условию задачи.
Процесс обучения применению подобия к решению задач на построение целесообразно разбить на четыре этапа: подготовительный, ознакомительный, формирующий умение, совершенствующий умение. Каждый этап имеет свою дидактическую цель, которая достигается, когда учащиеся выполняют специально составленные задания.
Дидактическая цель подготовительного этапа - сформировать у учащихся умения: выделять данные, определяющие форму фигуры, множество пар подобных между собой фигур; строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой.
Задачи на построения не просты. Не существует единого алгоритма для решения таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а может быть, невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска учащимися путей решения с помощью своей интуиции и подсознания. Цель заключается не в обучении поиску решения задач на построения, а в том, чтобы на сознательном уровне перед тем, как решать задачу, и после того, как ее решение найдено, проанализировать логику задачи и логику поиска ее решения.
4. Примеры рассуждения при решении задач
Задача 1.
1) Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
Рассуждаем: как мы знаем, первым этапом решения задач на построение является анализ.На этом этапе осуществляется поиск решения задачи. Его конечная цель - установление последовательности. Для начала разберемся, каким методом мы будем решать задачу на построение. Так как ответ на этот вопрос находится в самом условии, нам будет легко его определить. Решаем задачу методом подобия.
2) Рассуждаем далее: следующим пунктом решения является построение. Этот этап решения представляет собой непосредственную реализацию на чертеже найденного алгоритма. Проще говоря – нарисуем рисунок.
3) Рассуждаем: третьим этапом решения, как мы сказали ранее, является доказательство. Его цель - доказательство того, что построенная на предыдущем этапе фигура действительно искомая, т.е. удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.
Треугольники АВС и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников (∠A — общий, ∠ACB = ∠ADC = 90°). Точно так же подобны треугольники АВС и CBD (∠B — общий и ∠ACB = ∠BDC- 90°), поэтому ∠A = ∠BCD. Наконец, треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и ∠A = ∠BCD), что и требовалось доказать.
4) Рассуждаем: последним пунктом решения задачи является исследование. Этот этап решения состоит в выяснении того, всегда ли задача имеет решение; если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет.
Задача решена.
Для закрепления рассмотрим еще одну задачу, но уже посложнее.
Задача 2.
1) Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.
Рассуждаем: пользуемся снова нашим алгоритмом. Первый этап – анализ. Определяем метод решения. На этом рисунке его определить тоже не трудно, так как мы видим подобные треугольники и числовые значения сторон, понимаем, что речь идет снова о методе подобия.
2) Рассуждаем далее: второй пункт – построение. Так как нам уже дан готовый рисунок, следовательно, мы его тщательно изучаем и продумываем дальнейшее решение.
3) Снова рассуждаем: предпоследним пунктом у нас является решение или же доказательство (в зависимости от требования задачи).
Решение.
Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.
AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC
Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.
Следовательно:
DE/AB = 7/11 = CD/CA = 15/CA
От сюда следует: CA=15*11/7 = 23.57
x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57
Ответ: 8.57.
Рассуждаем: наконец последним пунктом у нас является исследование. Выясняем, всегда ли задача имеет решение, если не всегда, то при каких конкретных данных и сколько именно решений она имеет.
Задача решена.
5)Мои личные рекомендации по решению задач на построение
1. Очень внимательно читать условия задачи, разобраться во всех ее деталях. Как правило, задачи имеют свои «ловушки». Поэтому, данный пункт является очень важным.
2. Делать аккуратный рисунок. Мне всегда очень помогал этот пункт, так как большинство ребят просто не могут разобраться в рисунке и следовательно, путаются в решении. Аккуратный чертеж необходим не только для наглядности, но и для того, чтобы решение сформировалось гораздо быстрее. Если же чертеж получился неаккуратным, рекомендую его перенести на «чистовик».
3. Подробно расписывать решение. Это важно для того, чтобы у нас в голове сохранялась четкая последовательность уже найденного решения и быстрее формировалось решение, которое нам только предстоит найти. На самом деле это значительно сократит время решения задачи, так как у нас все последовательно и подробно, мы уже почти не тратим время на возвращение к прошлым пунктам решения и быстрее формируем дальнейшее.
4. Если трудно запомнить какое-либо решение определенного типа задач, просто сделайте так, чтобы оно ассоциировалось у вас с какими-либо задачами из реальной жизни. Если же и это не помогает, то выпишите именно те определяющие данные, по которым вы понимаете, что задача относится к определенному типу и соответственно, их примерное решение. Этот пункт тоже значительно сэкономит время.
5. После того, как вы уже решили задачу, не переходите сразу к решению другой. Необходимо исследовать, изучить задачу. А именно: еще раз прочитать условие и проанализировать решение задачи при данном условии, повторно разобраться в «ловушках» задачи. Таким действием мы набираемся опыта по решению задач и в будущем, при виде при виде подобных условий задачи мы уже не будем теряться.
.png)
