КВАДРАТ | |
a d | Определение Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. |
a – сторона d - диагональ P = 4a – периметр – сторона ч/з периметр S = a2– площадь ч/з сторону – площадь ч/з диагональ | Свойства: 1) противоложные стороны равны; 2) противолежные углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 4) диагонали равны; 5) диагонали взаимно перпендикулярны; 6) диагонали делят углы пополам |
ПРЯМОУГОЛЬНИК | |
b a d | Определение Прямоугольник – этопараллелограмм, у которого все углы прямые. |
a – длина b-ширина d - диагональ P = 2(a+b)-периметр S = a b- площадь , - угол м/у диагоналями | Свойства: 1) противолежащие стороны равны; 2) противолежащие углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180; 5) диагонали равны. |
Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он является прямоугольником. | Если в параллелограмме сумма двух противоположных углов равна 180 - это прямоугольник. |
В четырехугольнике, в котором три угла прямые – прямоугольник. | Если биссектриса прямоугольника делит пополам сторону, которую она пересекает, то одна из сторон прямоугольника в два раза больше другой его стороны. |
Если все углы четырехугольника равны – это прямоугольник. | Если в четырехугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник – прямоугольник. |
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ | |
b a h2 h1 a, b – стороны h1, h2 – высоты | Определение Параллелограмм – это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны. |
S = a b sin- площадь P = 2(a+b)-периметр- площадь | Свойства: 1) противолежащие стороны равны; 2) противолежащие углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180. |
b a | |
d1 d2 - угол м/у диагоналями S = | Признаки: 1) Если две противолежащие стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 2) Если противолежащие стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. 3) Если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. 4) Если в четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон равна 180, то этот четырехугольник — параллелограмм. 5) Если противоположные углы четырехугольника равны, то такой четырехугольник – параллелограмм |
Любой отрезок с концами на противолежащих сторонах параллелограмма, проходящий через точку пересечения его диагоналей, делится этой точкой пополам. | |
Биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны | |
Биссектрисы двух противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой. |
Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине. |
Какдействовать
Чтобы установить, что четырехугольник – параллелограмм, докажите, что в нем:
ЛИБО 1) противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма);
2) противоположные стороны попарно равны (признак);
3) две противоположные стороны равны и параллельны (признак);
4) диагонали точкой их пересечения делятся пополам (признак).
Для того, чтобы установить, что данный параллелограмм – прямоугольник, докажите, что у него:
ЛИБО 1) все его углы прямые (определение прямоугольника);
2) диагонали равны (признак).
Для утверждения, что четырехугольник является прямоугольником, докажите, что:
ЛИБО 1) этот четырехугольник – параллелограмм, а параллелограмм - прямоугольник;
2) три угла четырехугольника – прямые.
a – сторона h – высота - угол ромба P = 4a – периметр S = a2 sin РОМБ | |
a h d1, d2–диагонали d1 d2 | Определение Ромб – это параллелограмм, в котором все стороны равны. Свойства: 1) противолежащие стороны равны; 2) противолежащие углы равны; 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 4) сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180; 5) диагонали взаимно перпендикулярны; 6) диагонали делят углы пополам. |
Признак: Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб. | |
Диагональ ромба разделяет его на два равных треугольника. | Диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольника. |
Ромб, в котором один угол nрямой, - квадрат | Четырёхугольник, все стороны которого равны, является ромбом. |
Параллелограмм, диагонали которого делят углы пополам, - ромб. | |
Какдействовать
Чтобы установить, что данный параплелограмм - ромб, докажите, что в нем:
ЛИБО 1) все стороны равны (определение ромба);
2) диагонали взаимно перпендикулярны (признак);
a ТРАПЕЦИЯ | |
b h | Определение Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - непараллельны. |
m a, b – основания трапеции h – высота m – средняя линия | Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Свойство средней линии трапеции: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. |
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРАПЕЦИЯ – трапеция, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (или один угол равен 90) | |
Сумма градусных мер двух углов трапеции. Прилежащих к боквой стороне, равна 180. | РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ – трапеция, в которой боковые стороны равны. |
Свойство: углы при основании равны; диагонали равнобедренной трапеции равны. диагонали образуют с ее основанием равные углы Признак: Если в трапеции углы при основании равны, то такая трапеция является равнобедренной. | |
Если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию, то диагональ, соединяющая их концы, - биссектриса угла, прилежащего к большему основанию. | |
Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то средняя линия трапеции равна ее высоте. | |
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности. | В равнобедренной трапеции сумма противолежащих углов равна 180 |
Если в трапеции сумма противополжных углов равна 180, то трапеция равнобедренная |
Какдействовать
Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительне построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне, и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.
