ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЛАСТНОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
Методическая разработка
урока математики
на тему
«Первообразная функции»
Разработал:
преподаватель
Заварзина В.Г.
Липецк 2021 г.
Тема урока:
«Первообразная функции».
Цели урока:
1. Образовательные:
а) сформировать представление о понятии "первообразная";
б) способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации;
в) сформировать умения и навыки находить первообразные заданных функций при решении прикладных задач и задач производственной направленности.
2. Развивающие:
а) развитие профессиональных качеств студентов (умений применять полученные знания на практике);
б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, логически излагать мысли, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия).
3. Воспитательные:
а) воспитание навыков самостоятельной работы;
б) воспитание дисциплинированности;
в) воспитание эстетических взглядов.
Тип урока: комбинированный
Вид урока: проблемный
Методические приемы:
-тестирование на компьютере;
-самостоятельная работа (работа с раздаточным материалом);
-практический- решение задач производственной и прикладной направленности.
Межпредметные связи: история-электротехника-физика- производственное обучение.
Оборудование и наглядные средства обучения: мультимедийный проектор, компьютеры, тест MyTestXPro, презентация, демонстрационный и раздаточный материал.
Методическая цель: активизировать мыслительную деятельность студентов.
Ход урока:
I.Организационный момент.
Подготовка студентов к уроку. (проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)
II.Сообщение темы и целей урока.(слайд 1,2)
Эпиграф к уроку: «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»
Н.И.Лобачевский. (слайд 3)
Ш. Мотивация.
Преподаватель:
-В наших домах, в транспорте, на заводах - всюду работает электрический ток.
-Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.
-Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.
-Сегодня на уроке мы применим ваши знания, касающиеся математики и электротехники при решении задач профессиональной направленности .
Преподаватель:
Давайте рассмотрим следующую задачу:
Задача.
Известно, что сила тока . По какому закону меняется электрический заряд, протекающий через проводник? Найдите значение заряда в момент времени t=2 cек. (При t=0,q(t)=1) (слайд 4)
Преподаватель:
Ваших знаний для решения этой задачи пока не достаточно.
IV.Актуализация опорных знаний
Сегодня к уроку нужно было приготовить сообщение о Г.В. Лейбнице.
Историческая справка (сообщение студентов) (слайд 5).
Интеграл – интегрирование – интеграция …
Однокоренные слова, к тому же вышедшие за пределы математики и ставшие почти «обиходными». В газетах читаем об интеграции наук, интеграции культур, интеграции экономики, в политике ведут речь об интеграционных процессах.
Любопытно, что идеи интегрального исчисления возникли задолго до появления идей дифференциального исчисления, еще на заре развития математики. Греческие математики Евдокс (IV в. до н.э.), а затем Архимед (III. до н.э.) для решения задач на вычисление площадей и объемов придумали разбивать фигуру на бесконечно большое число бесконечно уменьшающихся частей и искомую площадь (или объем) вычислять как сумму площадей (объемов) полученных элементарных кусочков.
Однако реализация этой идеи была чрезвычайно сложна, так как она появилась за 19 веков до построения тории пределов, метода координат и даже просто буквенного исчисления.
(Фотография ученого. Ответ студента.)
Повторение пройденного материала.
Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = t3 + 2t2 – 5t. Найти функцию, выражающую закон изменения скорости движения υ(t). (слайд 7).
Решение. Функция скорости υ(t) является производной от заданной функции перемещения s(t):
υ(t) = s'(t), υ(t)= 3t2 + 4t-5.
ответ: υ(t)=3t2+4t-5.
Задача 2. Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону υ(t)= 3t2+4t-5.Найти функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени. (слайд 8).
Решение. Так как υ(t) = s'(t), то из условия следует, что s'(t) =3t2+4t-5. Значит, по заданной производной s'(t) требуется восстановить функцию s(t).
(Два студента приглашаются к доске для написания формул)
Остальные студенты отвечают на вопросы:
Что называется дифференцированием функции?(Процедуру нахождения производной функции y=f(x) называют дифференцированием функцииy=f(x))
Что означает выражение «дифференцирование функции в точке»?
(Т. е. функция непрерывна в этой точке)
В чем заключается физический смысл производной? (Физический смысл производной состоит в том, что если s(t)-закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:v= )
Назовите формулы для вычисления производных элементарных функций и тригонометрических функций (ответы студентов у доски).
Формулы для производных элементарных функций.
(Студенты называют формулы)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Формулы для производных тригонометрических функций.
1.
2.
3.
4.
Вызывается студент для решения задачи у доски.
Задача 3(слайд 10)
Материальная точка движется прямолинейно по закону
гдеx— расстояние от точки отсчета в метрах,
t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с.
Решение:
Необходимо найти производную функции, так как v=, то
Ответ: 20м/с.
V.Введение нового материала.
Вернёмся к теме нашего сегодняшнего урока.
Определение первообразной
Искомая функция s(t) называется первообразной для данной функции υ(t), если s' (t) = υ(t) для всех t.
Любая первообразная для функции f(x) на промежутке J может быть записана в виде F (x) + C, где F (x) – одна из первообразных для функцииf(x) на промежутке J, а С – произвольная постоянная.
Читая формулы производных «справа на лево» найдите какую-либо первообразную F(х) для заданной функции.
1)f (х) = 4х3, х € (-∞; ∞)
2)f (х) = х2 , х € (-∞; ∞)
3)f (х) = 7 , х € (-∞; ∞)
4)f(х) = cosx , х € (-∞; ∞)
5)f (x) = 5 + sinx, х € (-∞; ∞)
6)f (x) = х € (-; )
Вопросы:Как проверить, что полученные функции F(х) являются первообразными для соответствующих функций f (х) единственные ли эти решения?
Приведите примеры этих решений.
Вывод 1. Основное свойство первообразной (правило).
Вывод 2. Любые две первообразные одной функции отличаются на константу т.е. F(х) = F(х) +С, С – константа
Вычисление первообразных
1)Таблица первообразных.
2)Работа с таблицей.
Давайте вспомним, что производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной это .
У Вас на столах лежит таблица для нахождения производных физических, электротехнических и математических величин. (слайд10).
Производные функций нашли широкое применение при решении прикладных задач на нахождение силы, мгновенной скорости, силы тока, теплоёмкости и других величин.
1. Сила– есть производная работы по перемещению.
2.Сила тока I– есть производная заряда q по времени.
3.Мгновенная скорость– есть производная пути по времени .
4. Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е.
C(t) =Q/(t)
VI Решение задач.
1. Найти общий вид первообразных для функции
1)f (х) = 2 – x4
2)f (х)= х+cosx
3)f (х)= x6
4)f (х)= -3
5)f (х) =
2. Для функции f найдите первообразную F, график которой проходит через данную т.М, если
1)f (х) = 2cosx ; М (-;1)
2)f (х) = 1-х2 М (-3;9)
VII. Закрепление пройденного материала.
Рассмотрим задачу урока.
Известно, что сила тока . По какому закону меняется электрический заряд, протекающий через проводник? Найдите значение заряда в момент времени t=2 cек. (При t=0,q(t)=1) (слайд 11)
В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.
Поэтому для решения задачи нам необходимо найти первообразную для силы тока.
Решение:
Найдем первообразную функции силы тока.
Так как при t=0,q(t)=1, то С=1
Поэтому при t=2 получаем
VII. Домашнее задание:
(10 вариантов) (приложение 3) (слайд 12).
VIII. Подведение итогов урока.
Проведение фронтального опроса по основным элементам урока.
Выставление оценок за урок. (слайд 13).
Далее приведены приложения к уроку.
Приложение 1.
Историческая справка.
О Лейбнице
Готфрид Вильгельм Лейбниц. (1646-1716)
Работы Лейбница составляют фундамент математического анализа.
В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Лейбниц дал правила вычисления производной суммы, разности, произведения, дроби.
Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
Но это не говорит о том, что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.
Используя методы дифференциального исчисления, учёные предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом наукиXVIII века.
Необходимо сказать, что Ньютон не дал четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано французским математиком О.Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.
Приложение 2.
Задания компьютерного тестирования.
Задания к тесту:
1
Производная функции равна:
Верный ответ 2)
2
Производная функции равна:
Верный ответ 3)
3 Производная функции равна:
Верный ответ 1)
4
Производная функции равна:
Верный ответ 4)
5
Производная функции равна:
Верный ответ 4)
6
Производная функции равна:
Верный ответ 1)
7
Производная функции равна:
Верный ответ 2)
8
Производная функции равна:
Верный ответ 3)
9
Производная функции равна:
Верный ответ 2)
10
Производная функции равна:
Верный ответ 1)
Приложение 3.
Карточка №1
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 3-2х3 + на (0; +∞).
2.f (х) = sin 2x -1 на (-∞; +∞).
3.f (х) = (2-5х)6 на (-∞; +∞).
4. Для функции f (х) = найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (; 3)
Карточка №2
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 1+2х4 - на (0; +).
2.f (х) = cos 3x +1 на (-; +).
3.f (х) = (1-4х)5 на (-; +).
4. Для функции f (х) = найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;2)
Карточка №3
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 2+ -3х4 на (0; +.
2.f (х) = 3sin (x+) на (-; +).
3.f (х) = на (-; +).
4. Для функции f (х) = найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;3)
Карточка №4
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 4-5х2+ на (0; +.
2.f (х) = 2cos () на (-; +).
3.f (х) = на (; +
4. Для функции f (х) = найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;1).
Карточка №5
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 2 + – 2х3 + х на (0; +).
2.f (х) = 5 sinx + 2 на (-; +).
3.f (х) = (5-9х)8 на (-; +).
4. Для функции f (х) = 2 cos (x-) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;2).
Карточка №6
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 1 - + 2х2 + х на (0; +).
2.f (х) = 2 sinx – 1 на (-; +).
3.f (х) = (4+8х)9 на (-; +).
4. Для функции f (х) = 2 sin (x + ) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;4)
Карточка №7
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 3 + + 4x2 – 5 на (0; +).
2.f (х) = 2 sin () на (-; +).
3.f (х) = (3-4х)7 на (-; +).
4. Для функции f (х) = 4 cos (2x + ) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;4)
Карточка №8
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = 2 - + 4 на (0; +).
2.f (х) = 3 cos (2х + ) на (-; +).
3.f (х) = (2-5х)7 на (-; +).
4. Для функции f (х) = 3sin (2x - ) найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;3).
Карточка №9
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = + 3x2 -5x + 1 на (0; +).
2.f (х) = 2 sin 4х + 3 на (-; +).
3.f (х) = (2-6х)7 на (-; +).
4. Для функции f (х) = 3 * найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;1).
Карточка №10
Найдите все первообразные F (x) для функции 1-3.
1.f (х) = – 3x3 + 5x – 1 на (0; +).
2.f (х) = 3 cos 4х -2 на (-; +).
3.f (х) = (1-5x)6на (-; +).
4. Для функции f (х) = 2 * найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М (;5).
Список литературы:
1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2017.
2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2019.
3. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.
4. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2020.
