РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТЕРЕОМЕТРИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА
С созданием в 17 веке аналитической геометрии принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике. Был сформирован универсальный метод перевода на язык алгебры и анализа, их решения чисто аналитическими методами.
Любая геометрическая задача на вычисление решается путем сведения к нахождению, в сущности, величин двух типов: расстояний и углов. Представляя, что в пространстве задан некоторый базис, в частности прямоугольный, состоящий из тройки некомпланарных векторов, то, основываясь на теореме о разложении векторов по трем некомпланарным векторам, любой вектор пространства можно разложить по векторам этого базиса единственным путем. Зная длину вектора, образующего базис углы между ними и разложение некоторого вектора по векторам этого базиса, то, используя свойства скалярного произведения, возможность определить угол, образуемый им с любым другим вектором, разложение которого по векторам этого базиса известно.
Векторы дают возможность находить решения довольно широкого класса геометрических задач, а способность определять разложение вектора по базисным векторам является важнейшим фактором их решения. Тесное взаимодействие векторного метода с методом координат позволяет переходить от векторного к скалярным соотношениям, которые в свою очередь просты в понимании.
В школьном курсе физики и математики под вектором принято понимать направленный отрезок. Векторная величина обуславливается как величина, характеризующаяся величиной (модулем) и направлением. Специфика заключается в необходимости возможности складывания данных величин по правилу параллелограмма.
Записьозначает, что рассматривается вектор, у которого начало – точка A, а конец – точка B. Пусть – произвольный вектор пространства, в котором задана декартова система координат Oxyz и A – точка пространства такая, что =, тогда координаты и будут координатами вектора . Если – единичные векторы на осях x,y,z, то и
. (1)
Длина (модуль вектора) равна
= (2)
Для определения расстояния d между двумя точками в пространстве справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Расстояние между двумя точками и В(x2, y2, z2) заданными в декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат этих точек, то есть:
(3)
Векторыи считаются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Теорема 2. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Векторы можно складывать по правилу параллелограмма (рисунок 1).
D C
A B
Рисунок 1- Правило параллелограмма
Длина вектора суммы равна
c= , (4)
где– угол между векторами и . При этом длина вектора разности равна
c= . (5)
Определение 1.Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
(6)
Рассмотрим задачу нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении в пространстве. Пусть в прямоугольной системе координат заданы координаты точек и В(x2, y2, z2). Требуется найти координаты точки , которая делит отрезок АВ в отношении µ. В декартовом пространстве точка С, делящая отрезок АВ в заданном отношении µ, имеет координаты
в частности нахождение середины отрезка
(8)
Проиллюстрируем применение некоторых указанных положений на достаточно простых примерах.
Задача. Найти расстояние между точками A(4, 6,-2) и B(2, 2,-6).
Указание. Данная задача решается в пространстве в декартовой системе координат. По формуле
для расстояния d между двумя точками, если взять в ней x1 , x2= 2, y1= 6, y2= 2, z1, z2 получаем
=
Ответ: .
Данный тип задач дает отчетливо понять, что под длиной отрезка подразумевается положительное число.
Задача. Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками и
Координаты точки, которая делит отрезок пополам определяются формулами
Согласно условию
Поэтому имеем
Ответ: С(2.5;4;-).
Совокупность относящихся к этому вопросу знаний, умений и навыков, учащихся образует определенную содержательно-методическую линию школьного курса математики, пронизывающую весь учебный материал обучения методам решения задач стереометрии, тесно связанный с другими основными дисциплинами.
Анализ практики преподавания математики в средней школе показывает, что в знаниях метода координат у большинства учащихся есть существенный недостаток: непрочная связь общего с конкретным; неумение в полной мере распорядиться основными знаниями, накопленными при изучении математики, в частности геометрии. Главной причиной этого является недостаточное внимание к формированию обобщенных знаний о методе координат и использовании его при решении. При этом важно также отметить, что научить в школе решению всех задач данным методом невозможно. Но можно научить учащихся общим подходам к решению типовых задач, которые связаны с необходимостью владения общими правилами и приемами их решения.
Список литературы
И.М.Виноградов , Элементы высшей математики «Высшая школа» 1999
А.Н. Колмогоров, Математика в его историческом развитии М: «Наука» 1991
К.А.Рыбников История математики Издательство московского университета 1960
И.М. Гельфанд, Метод координат М: «Наука» 1973
