«Теория вероятности и ее применение»

Министерство образования и науки Пермского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Чайковский техникум промышленных технологий и управления»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

На тему:

«Теория вероятности и ее применение»

По дисциплине:

«Математика»

Проект защищен «____» _______ 2021 г.

2021 г.

Содержание

1.Введение………………………………………….………………….............3

2.Теория вероятностей.………………….………….…………………….......5

2.1. История возникновения теории вероятностей……..…....................5

2.2.Основная формула теории вероятностей……..………….………….6

2.3. Задачи на определение классической вероятности……….….……7

3.Исследование.…...…………………………………………………..….….11

4. Мой тест.……………………………………………………...…..….........12

5. Заключение…………………………………………………………….…..15

6. Список литературы………………………...…………..…………………16

Введение.

В последнее время учителя часто проводят контрольные и самостоятельные работы в виде тестов, особенно по математике, информатике и литературе. Большинство моих одногруппиков надеются, что на контрольных можно будет получить хорошую оценку, выбирая правильные варианты ответов интуитивно, без теоретических знаний. Поэтому я решила оценить, насколько данный метод обеспечит положительную оценку, и как результаты моего исследования по теории вероятностей можно будет практически применить при тестировании.

Актуальность исследования - случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно. Кажется, как можно «предвидеть» наступление случайного события? Ведь оно может произойти, а может и не произойти! Но математика нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий. Они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Гипотеза- вероятность угадать верные ответы на тестах, контрольных работах очень мала, а значит практически невозможно получить положительную оценку без подготовки.

Объект исследования - теория вероятностей.

Предмет исследования - практическое применение теории вероятностей.

Цель исследовательской работы - выявление вероятности успешного написания контрольного тестирования обучающимися путем угадывания правильного ответа, применяя теорию вероятностей.

Задачи:

Собрать и изучить материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

Познакомиться с историей возникновения теории вероятностей;

Рассмотреть способы решения задач по основной формуле теории вероятностей;

Провести исследование вероятности успешного написания контрольного тестирования путем угадывания правильного ответа, проанализировать результаты, сделать выводы.

Создать свой тест по теории вероятности.

2.Теория вероятностей.

Теория вероятности – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Теория вероятностей используется в таких разделах математики как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания.

Она находит применение в физике, в анализе азартных игр, в страховании и в расчете пенсионных схем. На теории вероятностей основана разработка, применение и анализ вероятностных алгоритмов.

2.1. История возникновения теории вероятностей.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка).

Французский дворянин, некий господин Де Мере, был азартным игроком в кости и страстно хотел разбогатеть. Он затратил много времени, чтобы открыть тайну игры в кости. Он выдумывал различные варианты игры, предполагая, что таким образом приобретет крупное состояние. Благодаря азарту кавалера де Мере, который в равной степени был игроком и человеком небезразличным к науке, Паскаль вынужден был найти способ расчета вероятности. Де Мере интересовал такой вопрос: "Сколько раз нужно выбрасывать попарно две кости, чтобы вероятность получить 12 очков превышала 50%?". Второй вопрос, крайне интересовавший кавалера: "Как разделить ставку между участниками незаконченной игры?" Разумеется, Паскаль успешно ответил на оба вопроса де Мере, который стал невольным зачинателем развития теории вероятностей.

Б.Паскаль не только сам заинтересовался этим, но и написал письмо известному математику П. Ферма, чем спровоцировал его заняться общими законами игры в кости и вероятностью выигрыша.

Именно им принадлежат первые работы по теории вероятностей, они открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Крупный успех теории вероятностей связан также с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

2.2. Основная формула теории вероятностей.

При изучении явлений, мы проводим эксперименты, в ходе которых происходят различные события, среди которых различают: достоверные, случайные, невозможные, равновероятные.

Событие U называют достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие U обязательно произойдет. Например, достоверным будет появление одного из шести чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 при одном бросании игральной кости.

Событие называют случайным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Например, при однократном бросании игральной кости может выпасть число 1 или не выпасть, т.е. событие является случайным, потому что оно может произойти, а может и не произойти.

Равновероятные события – это события, которые при данных условиях имеют одинаковые шансы для наступления.

Классическое «определение» вероятности исходит из понятия равновозможности  (равновероятности), как объективного свойства изучаемых явлений. Равновозможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений. Например, при подбрасывании монетки исходят из того, что в силу предполагаемой симметрии монетки, однородности материала и случайности (непредвзятости) подбрасывания нет никаких оснований для предпочтения «решки» перед «орлом» или наоборот, то есть выпадение этих сторон можно считать равновозможными.

Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идёт об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события. К примеру при бросании игральной кости выпадение конкретного числа исключает выпадение остальных чисел.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью события А называется отношение числаm благоприятных для этого события исходов к n числу всех равновозможных исходов. Вероятность выражают в процентах.

Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность)

m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию ,

n – число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Классическое определение вероятности используется для выявления благоприятных исходов теоретическим путем.

Свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверно события А равна единице. Р(А)=1

Свойство 2. Вероятность невозможного события В равна нулю. Р(В)=0

Свойство 3. Вероятность случайного события С – это положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0 ≤ Р(С) ≤ 1

2.3. ЗАДАЧА НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пример: Испытание: подбрасывается игральная кость. Найти вероятность событий:
А – выпало число очков, равное 5
В - выпало четное число очков
С - выпало число очков, большее 4

Рассмотрим основные виды задач на вероятность случайного события, которые решаются с помощью классического определения вероятности.

1 вид.В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии

Решение: Всего участвует n = 9+3+8+5=25 спортсменов.

А т.к. финнов m = 5 человек, то вероятность того, что на последнем месте будет спортсмен из Финляндии.

Найдем вероятность. P = = 0,2

2 вид.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180  сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение: m = 180-8 = 172 сумки качественные,

n= 180 всего сумок.

Найдем вероятность. P = = 0,955...≈ 0,96

3 вид. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение Игральные кости - это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. n = 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие:

1;1  1;2  1;3  1;4  1;5  1;6

2;1  2;2  2;3  2;4  2;5  2;6

и т.д. 6;1  6;2  6;3  6;4  6;5  6;6

Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8: 2;6   3;5;  4;4   5;3  6;2 Всего m = 5 вариантов.

Найдем вероятность.   P = = 0,138 ≈ 0,14

4 вид. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение: Всего вариантов n = 2×2×2=8.

Благоприятныхm = 3 варианта:

о; о; р    

о; р; о  

р; о; о .

Найдем вероятность. P = = 0,375

5 вид. В сборнике билетов по биологии всего 35 билетов, в 14 из них встречается вопрос по зоологии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по зоологии.

Решение: m = 35-14=21- билет без зоологии.

n = 35 – всего билетов

Найдем вероятность. P = =0,6

6 вид. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение : 1 день – 12 докладов,

2 день – 12 докладов,

3 день – 12 докладов,

4 день – 22 доклада.

Т.к. (80- 3×12):2=22. 5 день – m = 22 доклада. n = 80 – всего выступлений.

Найдем вероятность. P = = 0,275

7 вид. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: m = 2000-12=1988 - насосов не подтекает,

n = 2000 – всего насосов

Найдем вероятность. P = =0,994

8 вид. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение: так как Руслан Орлов сам с собой играть не может, то вероятность его игры с каким-нибудь спортсменом из России будет

m = 9,

n = 25

Найдем вероятность. P = = 0,36

3.Исследование

Среди учеников часто возникает вопрос: «А нельзя ли выбрать наугад ответ и при этом получить положительную оценку ?»

Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.

Я хочу проверить это на примере предмета алгебра.

По данному предмету тест включает 10 заданий с выбором ответа из 4-х предложенных. Чтобы получить положительную оценку за тест, нужно набрать не менее 5 баллов. Каждое задание имеет 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на тест можно по формуле Бернулли.

Был проведен опрос среди учеников 9 класса (21 человек):

Как вы считаете, можно получить положительную оценку за тест, отвечая на вопросы методом угадывания?

•6 человека (26 %) считают, что таким способом написать контрольную можно.

•15 человек (74 %) считают, что нельзя.

Мы попросили ребят попробовать наугад пройти тест по алгебре. Для того чтобы получить оценку "3" необходимо набрать не менее 5 баллов.

По результатам тестирования более пяти баллов набрали 8 человек (38%), 13-менее пяти баллов (62 %).

Мой тест.

1. Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2 – по 5 руб. и 1 – 10 руб. Найдите вероятности p0 (билет не выиграл), p1 (билет выиграл 1 руб.), p5 (билет выиграл 5 руб.) и p10 (билет выиграл 10 руб.) событий:
а) p0=0.89; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01
б) p0=0.9; p1=0.08; p5=0.02; p10=0.01
в) p0=0.89 p1=0.08; p5=0.01; p10=0.02

2.Стрелок попадает в цель в среднем в 8 случаях из 10. Найдите вероятность, что, сделав три выстрела, он два раза попадет:
а) 0.314
б) 0.324
в) 0.384

3.Станок-автомат производит изделия трех сортов. Первого сорта – 80%, второго – 15%. Определите вероятность того, что наудачу взятое изделие будет или второго, или третьего сорта:
а) 0.8
б) 0.2
в) 0.95

4.Человеку, достигшему 20-летнего возраста, вероятность умереть на 21-м году жизни равна 0,01. Найдите вероятность того, что из 200 застраховавшихся человек в возрасте 20-ти лет один умрет через год:
а) 0.256
б) 0.246
в) 0.271

5.Для проверки на всхожесть было посеяно 2000 семян, из которых 1700 проросло. Определите вероятность p прорастания отдельного семени в этой партии и количество семян в среднем (назовем это число M), которое взойдет из каждой тысячи посеянных:
а) p=0.85; M=850
б) p=0.15; M=150
в) p=17/20; M=750

6.Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.7, у другого – 0.8. Найти вероятность того, что цель будет поражена:
а) 0.85
б) 0.96
в) 0.94

7. Студенту предлагают 6 вопросов и на каждый вопрос 4 ответа, из которых один верный, и просят дать верные ответы. Студент не подготовился и выбирает ответы наугад. Найдите вероятность того, что он правильно ответит ровно на половину вопросов (С точностью до 3-х знаков после запятой):
а) 0.164
б) 0.132
в) 0.144

8.В круг радиусом 20 см помещен меньший круг радиусом 10 см так, что их центры совпадают. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения:
а) 0.75
б) 0.075
в) 0.5

9. События A и B называются несовместными, если:
а) р(AB)=1
б) р(AB)=0
в) р(AB)=р(+р(B)

10. Изделия изготавливаются независимо друг от друга. В среднем одно изделие из ста оказывается бракованным. Найдите вероятность того, что из двух взятых наугад изделий окажутся неисправными оба:
а) 0.0001
б) 0.001
в) 0.01

11. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа станок потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0.1, для второго – 0.2 и для третьего – 0.15. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа хотя бы один из станков потребует внимания рабочего:
а) 0.935
б) 0.635
в) 0.388

12. Два стрелка стреляют по разу в общую цель. Вероятность попадания в цель у одного стрелка 0.8, у другого – 0.9. Найти вероятность того, что цель не будет поражена ни одной пулей:
а) 0.02
б) 0.96
в) 0.46

13.X и Y – независимы. DX = 5, DY = 2. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y):
а) 76
б) 19
в) 38

14.В пирамиде 5 винтовок, 3 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность попадания для стрелка при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, из обычной винтовки – 0.7. Стрелок наудачу берет винтовку и стреляет. Найти вероятность того, что мишень будет поражена:
а) 0.8
б) 0.85
в) 0.45

15.Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры:
а) 0.25
б) 0.5
в) 0.75

Заключение.

В ходе работы над проектом были выделены основные виды задач, которые решаются классического определения теории вероятности. Наиболее значимые и интересные из них были рассмотрены в виде примеров. В ходе проектной работы было проведено исследование (тестирование), которое позволило выяснить, что метод угадывания не позволяет набрать минимальное количество баллов, чтобы получить положительную оценку за тест.

В результате опроса, выяснили, что большинство уверены - экзамен сдашь лишь при подготовке к нему.

Гипотеза подтвердилась. Только тщательная подготовка позволяет получить положительную оценку за контрольный тест.

Поэтому на основании проделанной работы и полученных результатов проекта, можно утверждать, что теорию вероятности можно использовать не только по прямому назначению на уроках математики, но и в жизненных ситуациях.

Список литературы.

1. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. — М.Физматлит, 2003.

2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.УРСС, 2001.

3.Колмогоров, А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.Наука, 1974.

4. Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. — Новосибирск, 1997.

5.сhttps://www.syl.ru/article/198695/new veroyatnost-sobyitiya-opredelenie-veroyatnosti-sobyitiya

6.https://ru.wikipedia.org

7.https://obuchonok.ru/