Векторы в пространстве. Координаты вектора

Прямоугольная система координат в пространстве

Пример 1. Построить точку В(4;3;5) в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат.

Пер­вая ко­ор­ди­на­та точки B – 4, по­это­му от­кла­ды­ва­ем на Ox 4, про­во­дим пря­мую па­рал­лель­но оси Oy до пе­ре­се­че­ния с пря­мой, про­хо­дя­щей через у=3. Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем точку K. Эта точка лежит в плос­ко­сти Oxyи имеет ко­ор­ди­на­ты K(4;3;0). Те­перь нужно про­ве­сти пря­мую па­рал­лель­но оси Oz. И пря­мую, ко­то­рая про­хо­дит через точку с ап­пли­ка­той 5 и па­рал­лель­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма в плос­ко­сти Oxy. На их пе­ре­се­че­нии мы по­лу­чим ис­ко­мую точку B.

Задание 1.

Посмотреть видеоурок https://www.youtube.com/watch?v=yFtRbpGKip0

а) Изобразить в прямоугольной системе координат точки A(3;-1;0), C(0;2;0),D(-4;0;3), E(0;5;-3), F(3;1;6).

б) Ответить на вопрос: «Как они расположены относительно координатных осей, плоскостей?»

в) Записать вывод о том, как определить расположение точки относительно осей и плоскостей по их координатам.

Векторы и их координаты

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец.

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор.

Обозначение векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
 и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
 В частности, наш вектор  можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Любая точка пространства является вектором, у которого начало совпадает с концом (например или ), такой вектор называется нулевым и обозначается .

Длиной вектора называется длина отрезка, соединяющего его начало и конец. Обозначается . Длина нулевого вектора равна 0.

Задание 2. В таблице записаны основные понятия и характеристики векторов, запишите эти понятия и формулы в тетрадь.

Длина вектора

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Признак коллинеарности векторов

Векторы коллинеарны, если их соответственные координаты пропорциональны:

Нулевой вектор коллинеарен любым векторам.

Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, стрелки которых направлены в одну сторону.

Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, стрелки которых направлены в разные стороны.

Равные векторы

У равных векторов равны соответствующие координаты.

Векторы равны, если:

Равны длины векторов

Векторы сонаправлены

Противоположные векторы

У противоположных векторов противоположны соответствующие координаты.

Векторы противоположны, если:

Равны длины векторов

Векторы противоположно направлены

Сумма векторов

Сумма векторов равна сумме соответствующих координат векторов

Разность векторов

Разность векторов определяется как сумма одного вектора с вектором противоположным второму

Разность векторов равна разности соответствующих координат векторов

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число λ все его координаты умножаются на это число, причем:

если λ > 1, то длина вектора увеличивается в λ раз;

если 0 < λ < 1, длина уменьшается в λ раз;

если λ > 0, то получаем вектор сонаправленный с исходным;

если λ < 0, то полученный вектор противоположно направлен с исходным.

Пример 1. Даны точки Р (-3; 4; 0) и Н (2; -6; 1). Найдите координаты вектора и противоположного ему вектора, их длины.

Началом вектора служит точка Р, а концом – точка Н, значит из координат конца – Н вычитаем координаты начала – Р:

.

Противоположным ему является вектор и координаты его будут иметь обратные знаки:

.

Чтобы найти длины этих векторов, нужно извлечь корень из суммы квадратов их координат. При этом длины двух противоположных векторов равны:

.

Ответ. , , .

Пример 2. Выяснить, какие из данных векторов являются коллинеарными вектору . Для коллинеарных векторов укажите какими они являются: сонаправленные, противоположно направленные.

.

Чтобы проверить условие коллинеарности составим пропорции их координат, и если все они будут равны между собой – векторы коллинеарны.

и :

соотношения из координат векторов не равны между собой, значит векторы и не являются коллинеарными.

и :

все соотношения равны , значит векторы и коллинеарны, кроме того, так как число получилось отрицательным – данные векторы противоположно направленные.

и :

все соотношения равны , значит векторы и коллинеарны, число получилось положительным, следовательно, векторы сонаправленные.

и :

первые два соотношения равны , но в третьем случае получается , таким образом, условие коллинеарности не выполняется и векторы и коллинеарными не являются.

и :

у вектора все координаты равны нулю – это нулевой вектор, который коллинеарен всем векторам, докажем это (так как на 0 делить нельзя, координаты вектора записываем в числитель дроби):

, все соотношения равны, векторы и – коллинеарны и, кроме того, сонаправлены, потому что полученное число не отрицательное.

Ответ.и не коллинеарны, , ,и не коллинеарны, .

Пример 3. Выяснить, при каком значенииn векторы равны.

У равных векторов координаты равны, первая (по х) и третья (по z) тому подтверждение. Чтобы определить их вторую координату (по у) нужно приравнять выражения с n и решить как обычное линейное уравнение:

,

,

,

.

Тогда их координаты:

Ответ. Векторы равны при .

Пример 4. Выяснить, при каких значенияхm и n векторы коллинеарны.

У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

Соотношение первых координат векторов нам известно, поэтому к нему по очереди приравниваем неизвестные дроби и находимm и n по правиле пропорции (перемножаем «крест-накрест»):

Тогда координаты векторов , они противоположно направлены.

Ответ. При векторы коллинеарны.

Пример 5. Даны векторы . Найти .

Чтобы найти сумму или разность векторов, нужно сложить или вычесть их координаты, при умножении или делении вектора на число все его координаты умножаются или делятся на это число:

,

,

.

Чтобы найти значение выражения , нужно сначала найти сумму , а уже затем найти длину полученного вектора

.

Находим длину:

.

Ответ. , , , .

Разложение векторов по единичным координатным векторам

Каждой координатной оси соответствуетединичный вектор, или орт, (орты – это взаимно перпендикулярные векторы, длина которых равна 1).

Любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации единичных координатных векторов, то есть представить его в виде разложения по единичным векторам (ортам).

Например, для вектора , а для вектора .

Задание 3. Решите задачи.

1) Даны точки М (10; -4; 2) и К (16; 2 -5). Найдите координаты вектора , и вектора, противоположного ему, их длины и разложения по единичным координатным векторам.

2) Выясните, при каком значении n векторы равны. Найдите их длины.

3) Найдите и исправьте ошибку (рисунок и исправленные выражения запишите в тетрадь)

4) Найдите сумму векторов , если а В – произвольная точка пространства.

5) Найдите разность векторов , если а А – произвольная точка пространства.

6) Найдите координаты и длины векторов , если .

7) Выясните, при каких значениях m и n векторы коллинеарны, как они направлены относительно друг друга? Найдите их длины.

8) Найдите ошибку в решении и исправьте ее (полное исправленное решение запишите в тетрадь).

Дано: .

Определить: коллинеарны ли векторы ?

Решение.

Найдем координаты векторов

,

.

Применим условие коллинеарности: .

Ответ. Векторы являются коллинеарными.

Задание 4. Совместить начало и конец утверждения, полную фразу записать в тетрадь.