Закон сохранения механической энергии для движения тел по окружности

Практическая работа по теме «Закон сохранения механической энергии для движения тел по окружности»

На нити длиной l висит небольшой ящик с песком с массойm (баллистический маятник). Пуля, летящая горизонтально, попадает в ящик и застревает в нем, при этом максимальное отклонение нити составляет α. Определить скорость пули v₀, если масса пули m₀. Размеры ящика существенно меньше длины нити.

Решение.

Дано:m , m₀ , α,l;v₀-?

Взаимодействие ящика и пули является неупругим. Выберем направление координатной оси. Обратите внимание, что проекции внешних сил на направление оси равны нулю, а значит, применимы законы сохранения, как для изолированных систем.

Давайте рассуждать. Скорость можно определить как с помощью ЗСИ, так и с помощью ЗСМЭ. Но в уравнениях получится две неизвестные переменные - искомая скорость пули и скорость системы после взаимодействия. Но решая два уравнения совместно, можно дойти до решения.

ЗСИ для этой задачи запишем так:

,

скорость пули будет:

.

Воспользуемся ЗСМЭ. Нулевой уровень потенциальной энергии будет соответствовать координатной оси. Тогда в положении 1 ящик, в момент удара, будет обладать только кинетической энергии, а положении 2 – только потенциальной энергией:

Из рисунка можно определить, что h=l–lcosα, тогда ЗСМЭ можно записать так.

,

откуда

.

Следовательно,v₀ с учетом уравнения от ЗСИ будет определяться так:

.

Сферическая чашка массой M покоится на гладкой горизонтальной поверхности. По внутренней поверхности чашки из положения A начинает скользить без начальной скорости маленький брусок массой m. Какую скорость v будет иметь чашка в тот момент, когда брусок достигнет низшей точки (положениеB), если радиус чашки R. Трением между всеми поверхностями пренебречь.

Решение.

Дано:M,m,R;v-?

Положение тел в момент, когда брусок достигнет низшей точки, изображено сплошной линией. Скорость бруска u направлена в этот момент горизонтально. Из ЗСИ и ЗСМЭ имеем:

Решая совместно, получаем:

Шарик массой m подвешен на нити длиной l. Его приводят в движение так, что он обращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, которая находится на расстоянии l/2 от точки подвеса. Какую работуA нужно совершить для сообщения шарику такого движения?

Решение.

Дано:m,l;A-?

По закону изменения механической энергии искомая работа является суммой работ внешних сил:

.

Шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости под действием сил, изображенных на рисунке. В проекциях на координатные оси уравнения движения имеют вид:

Решая их относительно v, исключая m и учитывая, что находим кинетическую энергию:

.

Потенциальная энергия шарика, относительно занимаемого положения в неподвижном состоянии:

.

Возвращаясь к закону изменения механической энергии, получаем:

Из условия l/2 следует, что α=60º, тогда работа будет:

Маленький шарик входит в мёртвую петлю радиуса R, соскальзывая без начальной скорости с высоты 2R. На какой высоте шарик оторвётся от поверхности петли?

Решение.

Дано:R, 2R; h-?

Анализируя схему задачи, становиться ясно, что высоту подъема шарика можно определить так:

Однако, угол α в этой задаче не определен. Слово "маленький" в задаче, означает, что это тело можно воспринимать как материальную точку, а значит применим 2 закон Ньютона. В движении участвуют сила тяжести и сила реакции опоры:

но в момент отрыва шарика от петли, сила реакции обращается в нуль, и уравнение движения можно переписать иначе (записываю сразу в скалярном виде):

cosα уже можно определить, но неизвестная скорость. Скорость, указанная в уравнении, будет скоростью в момент отрыва. Найти ее можно по ЗСМЭ. Он применим, т.к. единственная неконсервативная сила в системе – N, работа которой не вносит вклад в движение шарика в силу того, что она направлена перпендикулярно вектору скорости.

.

Подставляя полученный квадрат скорости в уравнение динамики получим:

Возвращаясь к первому уравнению, получается, что h будет равно

Домашнее задание

1 уровень (вес оценки 10б)

1. Нить маятника отклонена до горизонтального положения и отпущена. Какова должная быть минимальная прочность нити T, чтобы она могла выдержать натяжение при прохождении маятником массой m положения равновесия?

2. По цилиндрической поверхности горки массой М, прислоненной к вертикальной стенке (см. рис.), скользит без трения шайба массой m. Начальная скорость шайбы на вершине горки равна нулю. С какими силамиF_x и F_yгорка будет давить на вертикальную стенку и пол в момент времени, когда шайба находится в точке A, положение которой задано углом α?

2 уровень (вес оценки 20б)

1. Пуля массой m, летящая горизонтально, попадает в шар массой M, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной L и застревает в нем. В тот момент, когда нить с шаром отклонилась от вертикального положения на угол α, скорость шара не равна нулю, а ускорение шара a=g. Определите скорость пули v₀ перед попаданием в шар.

2. На гладкой горизонтальной поверхности около стенки стоит симметричный брусок массой m₁ с углублением полусферической формы радиусом R (см. рис.). Из точки А без трения соскальзывает маленькая шайба массой m₂. На какую максимальную высоту h над нижней точкой углубления сможет подняться шайба? Какова будет максимальная скорость v_max бруска при его последующем движении?

3 уровень (вес оценки 30б)

Пушечный снаряд движется по желобу системы заряжания (см. рис.). Снаряд опускают без начальной скорости. Пренебрегая трением, определите ускорение снаряда в точке, положение которой определяется углом α.