Уравнение Бернулли и следствия из него

Уравнение Бернулли и следствия из него

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости(физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47). Пусть в месте сечения S₁ скорость течения v₁,давлениер₁и высота, на которой это сечение расположено,h₁.Аналогично, в месте сечения S₂ скорость течения v₂, давление р₂ и высота сечения h₂

За малый промежуток времени t жидкость перемещается от сечений S₁ и S₂ к сечениям S'₁иS'₂.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E₂-Е₁идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе Авнешних сил по перемещению массы от жидкости:

E₂-E₁=A, (30.1)

гдеE₁ и Е₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S₁иS₂ соответственно.

С другой стороны, А— это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S₁иS₂, за рассматриваемый малый промежуток времени t. Для перенесения массы тотS₁ до S'₁жидкость должна переместиться на расстояние l1= v₁tи от S₂ до S'₂ — на расстояние l₂=v₂t.Отметим, что l₁ и l₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v,давленияри высоты h.Следовательно,

A = F₁l₁+F₂l₂, (30.2)

гдеF₁=p₁S₁ и f₂=-р₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; рис.47).

Полные энергии Е₁иe₂будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на V, получим

где  — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опубликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величинар в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина v²/2 — динамическим давлением. Как уже указывалось выше (см. § 28), величинаghпредставляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h₁=h₂) выражение (30.6) принимает вид

гдер+v²/2 называется полным давлением.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (29.1) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше.

Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров(рис.48). В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В,прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрических трубках А и С, прикрепленных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволяет измерять скорость потока жидкости. Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис.49). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом трубок, противоположные концы которых присоединены к манометру. С помощью одной из трубок измеряется полное давление (р₀), с помощью другой — статическое (р).Манометром измеряется разность давлений:

p₀-p = ₀gh,(30.8)

где  — плотность жидкости в манометре. С другой стороны, согласно уравнению Бернулли, разность полного и статического давлений равна динамическому давлению:

p₀-p=pv²/2. (30.9)

Из формул (30.8) и (30.9) получаем искомую скорость потока жидкости:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса (рис. 50). Струя воды подается в трубку, открытую в атмосферу, так что давление на выходе из трубки равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте давление меньше атмосферного. Это давление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через разрыв, имеющийся в ее узкой части. Воздух увлекается вытекающей с большой скоростью водой из узкого конца. Таким образом можно откачивать воздух из сосуда до давления 100 мм рт. ст. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндрический сосуд с жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис.51).

Рассмотрим два сечения (на уровне h₁свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h₂выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:

Так как давления р₁ир₂в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны

атмосферному, т. е. p₁=p₂, то уравнение будет иметь вид

Из уравнения неразрывности (29.1) следует, что v₂/v₁=S₁/S₂,гдеS₁ и S₂ — площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S₁>>S₂,то членом v²₁/2можно пренебречь и

Это выражение получило название формулы Торричелли¹.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Детлаф А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф. ‒ 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 718 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие / Т.И. Трофимова. ‒ 3-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 542 с.

3. Ю.А. Барков, Г.Н. Вотинов, О.М. Зверев, А.В. Перминов. КРАТКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2015