Лекция "Кривые второго порядка"

Лекция: Кривые второго порядка.

Эллипс есть множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (равная 2а),большая, чем расстояние между фокусами(равное 2с).

Простейшее уравнение эллипса получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось Оx принять прямую, проходящую через фокусыF₁и F₂, а за ось Оy – перпендикуляр к оси абсцисс в середине отрезка [F₁F₂]. Тогда уравнение эллипса примет вид

, где b² = а² – с²(1)

ТочкиА иВ,С иDпересечения эллипса с его осями симметрии (координатными осями) называются вершинамиэллипса. Отрезки [AВ] – большой осью, а [СD] – малой осью, так как а >b. Таким образом, параметры a и b, входящие в уравнение эллипса, равны его полуосям.

Эксцентриситетомэллипса называется отношение расстояния между фокусами к его большой оси, т.е.

(2)

Очевидно, что е < 1.

Если эллипс, определяемый уравнением вида (1), расположен так, что его фокусы лежат на оси Оу, то тогда b>a и большой осью служит отрезок [B₁B₂] длиной 2b, а малой осью – отрезок [A₁A₂] длиной 2а. Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле

, где (3)

Гиперболой называется множество точек, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).

Простейшее уравнение гиперболы получается, если расположить координатную систему следующим образом: за ось ОХ принять прямую, проходящую через фокусы F₁и F₂, за ось ОУ – перпендикуляр в середине отрезка [F₁F₂]

Тогда уравнение гиперболы примет вид

, где b² = c² – a² (4)

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух точках А₁ и А₂, называемых вершинами гиперболы. Отрезок [А₁А₂] длиной 2а называется действительной осью гиперболы, а отрезок [B₁B₂] длиной 2b – мнимой осьюгиперболы. Таким образом, параметры a и b, входящие в уравнение гиперболы, равны её полуосям.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к её действительной оси:

(5)

Очевидно, что е > 1.

Гипербола имеет двеасимптоты,уравнения которых

и (6)
Если мнимая ось гиперболы направлена по оси ОХи имеет длину 2а, а действительная ось длиной 2b направлена по оси ОУ, то уравнение гиперболы имеет вид

(7)

Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле

(8)

Её асимптоты те же, что и у гиперболы (4). Гиперболы (4) и (7) называютсясопряжёнными. Гипербола называется равносторонней, если её действительная и мнимая оси равны, т.е.

а = b. Простейшие уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

х²– у² = а² (9)

Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.

Величинаp, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметромпараболы. Прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно её директрисе, называетсяосью, а точка пересечения параболы с её осью –вершиной параболы. Простейшее уравнение параболы получается, если координатная система расположена следующим образом: за одну из координатных осей берётся ось параболы, а за другую – прямая, перпендикулярная оси параболы и проведённая посредине между фокусом и директрисой. Тогда уравнение параболы примет вид:

(10) (11)

(12) (13)

Уравнение

у =ах² + bх + с ( а ≠ 0) (14)

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс.

Аналогично, уравнение

х = my² + ny + p(m≠0) (15)

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат. Уравнения (14) и (15) приводятся к простейшему виду (10) – (13) путём тождественных преобразований с последующим переносом координатной системы.

Примеры по выполнению практической работы:

Пример 1. Найти оси, вершины, фокусы и эксцентриситет эллипса

9х² + 25у²– 225 = 0.

Решение: Приведём данное уравнение к простейшему виду (1), для чего свободный член перенесём вправо и разделим на него все члены уравнения. В результате получим

или

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), имеем а = 5,

b = 3. Отсюда находим оси эллипса 2а =10, 2b=6 и координаты вершин А₁( -5; 0), А₂(5; 0), В₁(0; -3), В₂(0; 3). Далее, находим .

Следовательно, фокусами эллипса служат точки F₁(-4; 0) и F₂(4; 0). Эксцентриситет эллипса вычисляем по формуле (2): е=.

Пример 2. Найти оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы 16х²– 9у²– 144 = 0.

Решение: Перенесём свободный член вправо и разделим на него все члены данного уравнения. В результате получим простейшее уравнение гиперболы

, или

Сравнивая это уравнение с уравнением (4), имеем а = 3, b = 4. Таким образом, действительная ось гиперболы 2а = 6, а мнимая ось 2b = 8; координаты вершин А₁( –3; 0) и А₂ (3; 0). Далее, , следовательно, фокусами гиперболы служат точки F₁( –5; 0) и F₂(5; 0). Эксцентриситет гиперболы вычисляем по формуле (5): е = с/а = 5/3. Наконец, подставляя значения а = 3,b = 4 в формулы (6), получим уравнения асимптот гиперболы и .

Пример 3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и

фокусом в точке F (0; – 8).

Решение: Фокус параболы лежит на оси ординат, а вершина – в начале координат, поэтому уравнение параболы можно записать либо в виде х² = 2ру, либо в виде х² =– 2ру. Далее, поскольку ордината фокуса отрицательна, уравнение параболы следует искать в виде х²=– 2ру. Из координаты фокуса параболы имеем р / 2 = 8, откуда p=16 и 2р = 32, и окончательно получаем х² = – 32у.

Задания для практического занятия:

Вариант 1

1. Составить уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты (0; 3) и (6; -7);

2.Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси OX, если расстояние между фокусами равно 20, а эксцентриситет ;

3.Дана гипербола . Найдите вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты этой гиперболы;

4.Парабола задана уравнением = 14x. Указать координаты фокуса параболы и уравнение её директрисы;

5. Составить уравнение окружности, центр которой лежит в фокусе параболы , а радиус равен действительной оси эллипса ;