Уравнения второго порядка содержат вторую производную y''. Они играют колоссальную роль в физике и инженерии, так как по второму закону Ньютона сила пропорциональна ускорению (которое является второй производной от координаты по времени).
Особое внимание в курсе уделяется линейным дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами:
ay'' + by' + cy = f(x)
Если правая часть f(x) = 0, уравнение называется однородным. Для его решения составляется характеристическое алгебраическое уравнение:
ar² + br + c = 0
В зависимости от дискриминанта (D = b² - 4ac) этого квадратного уравнения, решение принимает один из трех видов:
1. D > 0 (Два действительных корня r₁, r₂): Решение описывает затухающий или экспоненциальный процесс.
y(x) = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
2. D = 0 (Один корень r): Критический режим системы.
y(x) = (C₁ + C₂x)e^(rx)
3. D < 0 (Комплексные корни α ± iβ): Решение содержит синусы и косинусы, что физически означает колебательный процесс (например, маятник или колебательный контур).
y(x) = e^(αx) (C₁ cos(βx) + C₂ sin(βx))
Если f(x) ≠ 0 (неоднородное уравнение), общее решение строится как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.
