Развитие пространственного воображения учащихся на уроках геометрии средствами метода моделирования.

Муниципальное образовательное учреждение Сараевская средняя общеобразовательная школа

Развитие пространственного воображения учащихся на уроках геометрии средствами метода моделирования.

Разработчик:

Воронкова Алла Алексеевна

учитель математики
высшей категории

Сараи 2015

Условия возникновения и становления опыта.

 Свою педагогическую деятельность осуществляю в МОУ Сараевская СОШ. Наша школа является участником эксперимента по внедрению ФГОС второго поколения в среднем звене.

Особенность федеральных государственных образовательных стандартов общего образования - их деятельностный характер, который ставит главной задачей развитие личности ученика. Современное образование отказывается от традиционного представления результатов обучения в виде знаний, умений и навыков; формулировки ФГОС указывают на реальные виды деятельности.

 Поставленная задача требует внедрение в современную школу системно-деятельностного подхода к организации образовательного процесса, который, в свою очередь, связан с принципиальными изменениями деятельности учителя, реализующего новый стандарт. Также изменяются и технологии обучения.

Ещё до введения ФГОС второго поколения я наблюдала, что у учащихся наибольшие трудности возникают при решении математических задач, требующих пространственного воображения. Даже сравнительно простые задачи требовали тщательного разбора и отнимали много времени. Постоянно сталкиваясь с этой проблемой, искала пути выхода из создавшейся ситуации. Анализировала причины возникающих затруднений.

За время работы с разными возрастными группами я пришла к выводу, что одной из главных задач преподавания геометрии является задача планомерного, систематического развития геометрического, образного мышления, восприятие геометрии не только как школьного предмета, но и как феномена человеческой культуры.

Одним из направлений решения данной проблемы является эффективное использование объектных моделей на уроках изучения геометрии. Однако наблюдение за работой учителей математики, анализ методической литературы, периодических изданий по вопросам методики математики показывают, что объектные модели на уроках геометрии используются недостаточно  и в основном используются при показе моделей пространственных тел на уроках стереометрии. Способность же учащихся мысленно представлять себе фигуры их положения в пространстве нужно развивать задолго до того, как приходит пора изучать стереометрию. Но при изучении планиметрии применению моделей уделяется еще меньше внимания. 

Это можно объяснить тем, что методика их использования недостаточно разработана и учителя математики часто недооценивают возможности применения объектных моделей, хотя они могут существенно повысить эффективность усвоения материала, а также служить развитию и поддержанию интереса к предмету. 

2. Актуальность опыта

Для того чтобы учащиеся могли усвоить общий метод анализа объектов и составления ориентировочной основы действий, необходимо предоставить его в легко доступном и наглядном виде. Сделать это можно, в том числе, путем моделирования. Учебная деятельность при решении различного рода задач складывается из умственных действий. Их формирование осуществляется эффективно, если первоначально оно происходит на основе внешних материальных действий с предметами, а затем превращается во внутренние умственные процессы.

3.Ведущая педагогическая идея опыта – создание оптимальных условий для формирования пространственного мышления учащихся.

4. Длительность работы над опытом.

Наиболее остро проблема обозначилась с началом внедрения новых образовательных стандартов, когда требования к результатам обучения стали носить практический характер.

Работа осуществляется на протяжении четырех лет. За это время мне удалось сформулировать суть проблемы и наметить пути её решения. Подобрать материал, который соответствует поставленным задачам.

За время апробации технологии «Развитие образного мышления на уроках геометрии средствами метода моделирования» мною отмечен рост качества знаний учащихся, что выражается в увеличении степени обученности учащихся на 1,2%, по сравнению с начальным этапом работы.

5. Теоретическая база опыта

Изучить форму тела, изобразить его на плоскости, научиться анализировать, рассуждать, доказывать, развивать пространственное мышление - это основные задачи обучения геометрии в школе. 

Для представления пространственных образов педагоги прибегают к изготовлению моделей.

Работа с моделями не только помогает ученику представить форму, но развить пространственное мышление. После работы с моделями учащиеся лучше строят и конструируют на плоскости. 

Слово «модель» происходит от латинского «modelus», что означает «мера» [3]. 

Методист Давыдов В.В. понимал «модель» как образ (в том числе условный или мысленный) или прообраз (образец) какого–либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя» или «представителя» [3]. 

Все модели для их создателя обладают свойством наглядности. 
Материальные объекты наглядны потому, что они воспринимаемы, ибо представляют собой объективно существующие предметы или конструкции, аппараты или реальные явления, живые существа, во-вторых, человек, выбравший или сконструировавший ту или иную модель, предварительно создал у себя наглядный образ [3]. 

В геометрии широко используются плоскостные модели - отрезки, углы, треугольники и пространственные - пирамида, куб, и другие. 
Особенность таких наглядных пособий в том, что они имеют постоянную форму. С методической точки зрения это имеет положительное значение. В действительности: модели постоянной формы, будь они из бумаги, из картона, из проволоки или из деревянных планок разных размеров, например два вырезанных треугольника, дают учителю возможность на доске и в короткий срок показать наложение одного треугольника на другой, рассмотреть расположение основных элементов обоих треугольников. 
Анализ методической литературы [20, 26, 16 и др.] по проблеме обучения геометрии, разработки конкретных уроков геометрии в 7–9 классах [21, 31, 41, 11, 9 и др.] показали, что самыми распространенными средством обучения геометрии в школе являются различные модели плоских и пространственных фигур.

В преподавании достаточно широко используются планиметрические и стереометрические модели (каркасные, стеклянные, деревянные, картонные.

Изучив методическую литературу [11, 13, 5, 6, 14, 23 и др.] можно составить следующую классификацию моделей: 
статистические(неподвижные) и динамические(действующие).

В свою очередь статистические модели можно разделить на следующие виды: 
1.     Плоскостные  модели – модели  отрезков, углов, параллельных прямых, треугольников и т. п. 

2.     Пространственные модели - модели куба, призмы, усеченной пирамиды, конуса, и так далее.

В динамических моделях можно выделить следующие виды: 
1.     Подвижные модели. Это подвижные модели углов, параллельных прямых, и так далее (сделанных из картона и бумаги). Особенностью подвижной модели состоит в том, что при помощи ее можно легко показать  многие частные случаи фигуры одной и той же формы, одного и того же свойства фигуры, называемые предельными случаями (например, преобразование трапеции в треугольник, треугольника в отрезок). 
2.     Конструирование из бумаги – к ним относят модели фигур, образованных перегибанием листа бумаги. С помощью перегибания листа ровной бумаги, можно получить образ отрезка, двойным перегибанием – образ угла, смежных и вертикальных углов, тройным перегибанием можно получить образ треугольника, ромба. 

Новизна моей работы заключается в комбинировании элементов известных методик с методом моделирования.

Данная технология разрабатывалась для изучения математики на базовом уровне по УМК Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение, 2013и позволяет использовать её при обучении учащихся всех возрастных групп, начиная с пятого класса, где метод моделирования является пропедевтической базой для дальнейшего обучения геометрии в 7-11 классах.

Цель: максимально развить познавательные способности учащихся, научить их ориентироваться в простейших геометрических ситуациях и обнаруживать образы в окружающей обстановке.

Задачи :

- повышать уровень пространственного воображения учащихся;

- обеспечивать базу для изучения стереометрии в старших классах;

- развивать творческие способности учащихся.

 6. Методические основы использования моделей при изучении геометрии

При изучении курса геометрии целесообразно применять объектные модели.

Подвижные модели служат преимущественно для демонстрации процесса изменения формы или размеров фигуры.

Модели фигур постоянной формы используют для создания отчетливого представления той или иной фигуры, для демонстрации таких операций, как наложение или приложение, и т.п. 

Большинство моделей могут быть использованы перед изучением той или иной темы или отдельной теоремы, чтобы ознакомить учащихся с общим содержанием темы или теоремы; в этом случае наглядные пособия могут служить источником, из которого вытекает новая тема или отдельная теорема. А также применятся при решении некоторых задач и при доказательстве некоторых теорем. 

Использование плоскостных моделей

К плоскостным моделям относят модели отрезков, углов, параллельных прямых, треугольники, изготовленные из картона, бумаги, из проволоки, из деревянных планок. Особенностью таких моделей состоит в том, что они имеют постоянную форму.

Пример использования таких моделей на уроке. 
На уроке измерения длин отрезков. Из бумаги изготавливают два отрезка. Длину одного из них обозначают за единицу и предлагают ребятам измерить длину второго. Сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в отрезке, такую длину будет иметь данный отрезок.

Такие модели эффективны при изучении равенства фигур. Например, модели треугольников, имеющих по 2 соответственно равные стороны, позволяют отчетливо и в короткий срок на классной доске осуществить фактическое наложение одного треугольника на другой и показать возможные случаи расположения основных элементов обоих треугольников, что в значительной мере поможет учащимся понять доказательство теоремы. Так же модели помогают представить расположение фигур относительно друг друга. Например, на уроках взаимное расположение двух окружностей, прямой и окружности. Нам понадобятся 3 модели: двух окружностей и модель прямой (полоска, вырезанная из бумаги). Учитель на моделях показывает пересечение (наложение двух фигур друг на друга) и так далее, аналогично и расположение прямой и окружности
(лучше, если эти фигуры будут разного цвета). Формулируя различные вопросы, учитель дает учащимся наглядное представление о взаимоотношениях этих фигур

Использование пространственных моделей

Геометрические понятия формируются в процессе наблюдения форм, размеров и взаимного расположения окружающих предметов. Говоря о геометрических телах уже на первом уроке учитель называет геометрические тела, которые будут изучаться в курсе математики – это куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус. Можно сообщить здесь и названия, не давая определений; предварительно полезно убедиться, какие термины известны, какие, не известны детям. Также в беседе с учащимися устанавливаются особенности этих форм, их отличительные признаки [7]. 

На моделях геометрических тел ученики показывают поверхности кривые и плоские, линии прямые, кривые и ломаные, точки. Здесь же попутно закрепляются термины «грань», «ребро», «вершина». 
Выполняются серии упражнений на подсчет числа граней, вершин, ребер у куба, пирамиды и т. д.

Конструирование фигур из бумаги

С целью активизации сознательной деятельности самих учащихся, формирования и развития у школьников познавательного интереса на уроках математики используются различные приемы. Один из них - конструирование фигур из бумаги.

Воплощая в своих работах реально существующие предметы, сказочные фигурки и т.д., дети всегда стараются украсить их, придать им необычные формы, сохраняя при этом основной образ [32]. 
Конструирование из бумаги учит детей совершать последовательные действия, концентрировать внимание, слушать и воспринимать устные инструкции учителя; способствует развитию мелкой моторики, памяти, формированию пространственного воображения и умения мысленно оперировать плоскими и объемными предметами; стимулирует развитие творческих способностей.

На уроках математики эффективно применение таких техник как разрезание и сгибание. Это делает процесс изучения предмета более доступным, занимательным и творческим. 

Полоски служат моделями прямых линий, лучей, отрезков. С помощью полосок можно составить угол. Из трех полосок скрепляя их в концах гвоздиками можно построить единственный треугольник. Стороны его нельзя ни сдвинуть, ни раздвинуть [32]. 
Можно задать вопрос: «Из всяких ли трех полосок можно составить треугольник?»

Особое место в использовании метода моделирования занимают головоломки. Наиболее известная из них «Танграм». Замечательной особенностью головоломки является то, что из нее можно собрать около 1700 различных фигур, среди которых фигурки животных, растений и людей, буквы, цифры, геометрические фигуры и т.п. «Танграм» имеет свои правила.

Во-первых, в каждую фигурку должны входить все семь фрагментов головоломки. 

Во-вторых, кусочки должны тесно примыкать друг к другу без пробелов и никогда не налегать друг на друга даже краешком. 
Использование головоломки позволяет объединить наглядно-образные и конструктивные методы в обучении математике. «Танграм» можно применять, с одной стороны, в качестве интересного наглядного материала при объяснении отдельных тем курса геометрии, ас другой - как средство развития логического и образного мышления учащихся [22]. 
Работу с головоломкой можно начать в любом классе с учащимися разного возраста. Для этого достаточно взять квадрат из бумаги и разрезать его на части, как показано на рисунке.

«Танграм» можно использовать и при изучении отдельных тем и разделов школьного курса геометрии. Например, при изучении свойств геометрических фигур разного вида и отношений между элементами одной и той же фигуры; при рассмотрении понятий площади и периметра многоугольника; при решении задач, связанных с теоремой Пифагора. 

Применение моделей на разных этапах урок

Модели можно использовать на всех этапах процесса обучения: на этапе актуализации знаний, при объяснении нового материала учителем, при закреплении изученного материала, при формировании умений и навыков, при выполнении домашних заданий, на этапе контроля степени усвоения учебного материала. 

Этап актуализации знаний направлен на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний в стандартных и новых ситуациях, овладению определенными умениями, стимулированию познавательной деятельности учащихся.

Этап актуализации необходим для установления связей нового материала с ранее изученным, неизвестного с известным. Это способствует систематизации материала, более глубокому пониманию его, формированию прочных знаний [17]. 

Этап изучения нового материала – ключевой этап в структуре урока.

Целью данного этапа урока является овладение учащимися новым материалом. Учитель может выбрать один из способов ознакомления с новым материалом: новый материал может быть объяснен самим учителем, в ходе совместной деятельности с учащимися либо отработан учащимися самостоятельно [17]. 

При изучении нового материала начинают решаться вопросы, связанные с усвоением, т. е., пониманием, запоминанием, умениями его применять. 
Также при изучении нового материала необходимо обеспечить учащимся «ориентировку» в нем. Она достигается фиксированием основного содержания, которое необходимо усвоить. Система ориентиров должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно воспользоваться ими с первого же раза. Для этого используются краткие схематические записи (опорные конспекты), соответствующие образцы применения нового материала при решении задач и т. д [17]. 

Например, изучая тему «Площадь параллелограмма» можно использовать разрезную плоскостную модель при осуществлении поиска доказательства формулы.

В процессе изучения нового материала курса геометрии могут применяться модели, образованные перегибанием листа бумаги. Так, например, можно получить образ отрезка, перегнув лист бумаги. Если его перегнуть дважды нужным образом, то можно получить образ угла, смежных и вертикальных углов, параллельных прямых и т. д. [40] Также для мотивации решения той или иной задачи можно использовать перегибание моделей (например, треугольника, трапеции и т. п.)

На этапе закрепления изученного материала обеспечивается усвоение учащимися учебного материала на уровне, отвечающем программным требованиям. 
В ходе закрепления важно обеспечить запоминание учебного материала и формирование умений применять его при решении задач. 
Знания усваиваются только в ходе соответствующей собственной работы с ними [19]. 

Поэтому при закреплении изученного материала особое внимание следует уделять организации собственной деятельности учащихся в форме, позволяющей учителю проконтролировать ее ход и получаемые результаты. Подготовка к контрольной работе, подготавливающая обучаемых к осмысленной и активной учебной деятельности, должна завершаться постепенным снятием внешнего контроля и переходом к выполнению действий в умственном плане.

Закрепление знаний на уроках геометрии проходит, в основном, через решение задач, поэтому на этапе закрепления  используют  подвижные или разрезные модели.

При поиске решения задач главное – установить цепочку логических следований, которая приводит к доказываемому утверждению. Чтобы научить школьников логически грамотно рассуждать, надо развивать у них навыки такого мышления, которое помогало бы им выстраивать разрозненные геометрические факты в логические взаимосвязи. 

На этапе контроля устанавливается обратная связь в системе учитель – ученик, которая позволяет регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, своевременного диагностирования и корректирования их знаний и умений. 

Назначением средств наглядности на этапе контроля является то, что они вносят разнообразие в учебный процесс – это позволяет поддерживать познавательный интерес у учащихся. А также средства наглядности облегчают труд учителя на уроке, быстро позволяют демонстрировать учащимся их результаты [19]. 

Контроль может быть осуществлен с помощью устного опроса. Например, после изучения темы параллелограмм и его виды. Учитель показывает фигуру, сделанную из картона (параллелограмм, прямоугольник, квадрат, и так далее). Ученики должны назвать эту фигуру и ее свойства. 

 В результате моей педагогической деятельности был подобран достаточно большой арсенал различных заданий, который активно используется на уроках геометрии.

Системное применение метода моделирования позволяет удачно сочетать новые подходы к обучению и устоявшиеся методические рецепты традиционной системы. Неотъемлемой частью данной системы является рефлексия как один из компонентов учебной деятельности школьников, что реально повышает уровень понимания и осмысления изучаемого материала. Модели позволяют варьировать темпы прохождения материала и его структуру в соответствии с индивидуальными особенностями усвоения математических знаний. Системность в подборе приемов и методов создает комплекс взаимозависимых дидактических условий, содействующих быстрому продвижению в развитии учащихся при изучении геометрии.

Как показывает опыт, применение данной методики приводит к росту компетентности и учителей, и учащихся.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.            Болтянский В.Г. Формула наглядности – изоморфизм плюс простота [Текст] / В.Г. Болтянский // Советская педагогика. – 1970. – № 5. – с. 46 - 60. 
2.            Бурмистрова Н.В. Наглядная геометрия [Текст]: тетрадь для учащихся 5-го класса / Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова. – Саратов: Лицей, 2001. – 48 с. 
3.            Волович М. Б. Наука обучать [Текст]: технология преподавания математики / М.Б. Волович. – М.: LINKA-PRESS, 1995. – 280 с. 
4.            Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. – М.: Просвещение, 1992. – 335 с. 
5.            Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения в средней школе [Текст]: пособие для учителей / П.Я. Дорф. – М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва Просвещения РСФСР, 1960. 
6.            Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике. - М.:1955, 160 
7.            Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения. - М.:1960.-335с. 
8.            Дудницын Ю.П. Урок математики: применение наглядных пособий и технических средств обучения. – М.: Высшая школа, 1987 – 128. 
9.            Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе [Текст]: курс лекций: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / О.Б. Епишева. – Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997. – 191 с. 
10.       Ивашев-Мусатов О.С. О первом знакомстве с геометрией [Текст] / О.С. Ивашев-Мусатов // Математика в школе. – 2003. – № 7. – с. 44 – 48. 
11.       Из опыта преподавания математики (6-8 классы) [Текст]: пособие для учителей / Cост. М.Р. Леонтьева. – М.: Просвещение, 1977. – 175 с. 
12.       Имранов Б. Никогда не забывайте о наглядности [Текст] / Б. Имранов // Математика в школе. – 2001. – № 2. – с. 49 – 51. 
13.       Калинин И. А. Электронный учебник [Текст] / И.А. Калинин // Математика в школе. – 2000. – № 8. – с. 75 – 77. 
14.       Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе. - М.-1955. 
15.       Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. - М.,1958-190. 
16.       Костицин В.Н. Моделирование на уроках геометрии: Теория и методические рекомендации. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС,2000.-160. 
17.       Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко [и др.]; под ред. Е.И. Лященко. – М.: Просвещение, 1988. – 223 с. 
18.       Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики [Текст]: кн. для учителя / С.Г. Манвелов. – М.: Просвещение, 2002. – 175 с. 
19.       Метельский Н.В. Дидактика математики [Текст]: лекции по общим вопросам / Н.В. Метельский. – Мн., Изд-во БГУ, 1975. – 256 с. 
20.       Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: общая методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Cост. Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. – М.: Просвещение, 1975. – 462 с. 
21.       Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин. [и др.]; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с. 
22.       Мищенко Т.М. Индивидуальные карточки по геометрии для VII – IX классов [Текст] / Т.М. Мищенко, А.В. Семенов // Математика в школе. – 2002. – № 2. – с. 19 - 25. 
23.       Мячина М.В. Конструирование из бумаги на уроках математики в 5-6 кл. /М.В. Мячина // Математика в школе. – 2006. – № 9. – с. 36 – 41. 
24.       Наглядные пособие по математике». Сборник статей. Под ред.А.М. Пышкало и Е.Г. Гаврилов.: М., 1962-141. 
25.       Ожегов С.И. Словарь русского языка [Текст] / С.И. Ожегов; под ред. Н.Ю. Шведовой. – 20-е издание. – М.: Изд-во «Русский язык». – 1987. – 752 с. 
26.       Педагогика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. вузов и пед. колледжей / Под ред. П.И. Пидкасистого. – М.: Педагогическое общество России, 2003. – 608 с. 
27.       Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст] / учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: в 3 ч. Ч. 1. Общая методика / Е.С. Петрова. – Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с. 
28.       Погорелов А.В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. – Изд. 3-е. – М.: Просвещение, 1992. – 383 с. 
29.       Подготовка учителя математики [Текст]: инновационные подходы: учеб. пособие / Под ред. В.Д. Шадрикова. – М.: Гардарики, 2002. – 383 с. 
30.       Полонский В.Б. Учимся решать задачи по геометрии [Текст]: учеб.-методич. пособие / В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир. – К.: Магистр – S, 1996.–256 с. 
31.       Применение учебно – наглядных пособий и технических средств обучения на уроках математики. Методические рекомендации. - М., 1972 
32.       Произволов В.В. Геометрия ножниц в задачах [Текст] / В.В. Произволов // Математика в школе. – 1998. – № 2. – с. 87 – 90. 
33.       Самодельные наглядные пособия по арифметике для 5-6 классов. / Под редакцией С.В. Пазельского. - Саратов, 1959. 
34.       Смирнова И.М. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразовательного учреждения./ И.М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2001. -271. 
35.       Столяр А.А. Педагогика математики [Текст]: курс лекций / А.А. Столяр. – Минск: «Вышэйшая школа», 1969. – 368 с. 
36.       Трефилов И.П. Как заинтересовать математикой учащихся средней школы [Текст] / И.П. Трефилов. – М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1957. 
37.       Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе [Текст]: учителю математики о пед. психологии / Л.М. Фридман. – М.: Просвещение, 1983. – 160 с. 
38.       Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. - М.: Знание,1984.- 80с. 
39.       Хабиб Р.А. О новых приемах обучения планиметрии. - М.: Просвещение, 1969 – 158. 
40.       Черник О.В. Развитие эстетической воспитанности учащихся при обучении математике [Текст]: дис. … канд. пед. наук: 13. 00. 02. :защищена 22. 02. 03: утв. 15. 06. 03 / Черник Ольга Владимировна. – Киров, 2003. – 158 с. 
41.       Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии [Текст]: планиметрия: пособие для учителей сред. школы / В.Г. Чичигин. – М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1959. 
42.       Шубина Т.В. Новый подход к усвоению школьниками понятий геометрии / Т.В. Шубина, Н.А. Резник // Математика в школе. – 2004. – № 3. – с. 55 – 59.