Теорема Пифагора

Урок по геометрии в 8-м классе по теме:

"Теорема Пифагора"

учитель математики МОУ СШ с Студенец Кузоватовского района

Хромова Ольга Ивановна

Цель урока: Сформировать УУД. Сформировать мотивацию к обучению.

Изучить и доказать теорему Пифагора, рассмотреть способы решения типовых

задач. Найти практическое применение теоремы Пифагора

Задачи:

- узнать, кто такой Пифагор;

- познакомить и доказать теорему Пифагора;

- научить применять теорему для решения задач;

- показать связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами;

- показать практическую значимость теоремы Пифагора;

развитие мировоззрения учащихся, алгоритмического, комплексного

мышления;

- воспитание активности, самостоятельности, ответственности, культуры

общения, развитие коммуникативных способностей.

Формируемые УУД

Личностные:  учатся замечать и признавать свои ошибки, прислушиваться

к мнениям одноклассников, анализировать, овладевать  историческими и

математическими знаниями и умениями, навыками их применения в

реальной жизни, осознавать ценности исторических и математических

знаний как важнейшего компонента научной картины мира,  рефлексия.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителями и

сверстниками, приобретают умения организовать сотрудничество с

партнёром, осуществлять оценку действий партнера, умение с достаточной

полнотой и точностью выражать свои мысли.

Регулятивные: осознание качества и уровня усвоения пройденного

материала.  Оценивают умение  сотрудничать с учителем и

одноклассниками.

Познавательные: устанавливают причинно-следственные связи между

объектами, осуществляют подведение под понятие , проводят сравнение,

классификацию объектов, выбирают наиболее эффективный способов

решения задач.

Планируемые образовательные результаты

Метапредметные. Понимать связь математики с искусством, поэзией,

философией, научиться чувствовать красоту формул и теорем, развивать

интерес к истории математических открытий.

Личностные. Грамотно излагать свои мысли, анализировать, сравнивать,

развивать познавательный интерес через творческие задания. Уметь

самостоятельно приобретать новые знания и практические умения,

управлять своей познавательной деятельностью. Развивать активность и

находчивость при решении  поставленных задач, умение работать в

коллективе. 

Предметные. Понимать, что такое «теорема Пифагора». Знать, как найти

неизвестную сторону прямоугольного треугольника при помощи теоремы

Пифагора.

Тип урока: формирование новых знаний и умений.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Оборудование. Использование диапроектора, компьютера.

Ход урока.

Вступительное слово учителя. Об основных задачах урока, его целях и о порядке проведения. Объяснение нового материала и использованием презентации («Теорема Пифагора»).

1.Краткая биография Пифагора.

Пифагор родился в 576 г. до н.э. на греческом острове Самос, расположенном в Эгейском море. По совету Фалеса 22 года Пифагор набирался мудрости в Египте. Во время завоевательных походов на Египет войска полководца Камбиза взяли Пифагора в плен и продали в рабство. Так он оказался в Вавилоне, где он прожил более 10 лет. Там он изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. После возвращения домой, он поселился в Италии, а затем в Сицилии.

2.Создание пифагорейского ордена и основные открытия, сделанные пифагорейцами в математике.

Пифагор–это не имя, а прозвище, данное ему за то, что он высказывал истину также постоянно, как дельфийский аракул (“Пифагор” значит “убеждающий речью”.) В результате первой же прочитанной лекции Пифагор приобрёл 2000 учеников, которые не вернулись домой, а вместе со своими жёнами и детьми образовали огромную школу и создали государство, названное “Великая Греция”. Так Пифагор организовал свой пифагорейский орден и школу философов и математиков. Туда принимали с большими церемониями и после долгих испытаний. Здесь существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось самому Пифагору. В школе была очень серьезная дисциплина. Главным беззаговорочным аргументом в научных спорах были слова “сам сказал”. После этого дискуссии прекращались.

3.История создания теоремы Пифагора.

В пифагорейской школе много внимания уделялось музыке, живописи, физическому развитию, здоровью. Известно, что Пифагор четыре раза был Олимпийским чемпионом. Этого крепкого юношу с упрямой шеей и коротким носом, настоящего драчуна судьи одной из первых в истории Олимпиады не хотели допускать к соревнованиям по кулачному бою, укоряя его маленьким ростом. Он пробился и победил всех противников.

Обучение в школе Пифагора было двухступенчатым. Одни ученики назывались математиками, т.е. познавателями науки, а другие – акусматиками, т.е. слушателями. Пифагорейская система знаний состояла из четырёх разделов:

1. Арифметика (учение о числах).

2. Геометрия (учение о фигурах и их измерениях).

3. Музыка (учение о гармонии и теории музыки).

4. Астрономия (учение о строении Вселенной)

Пифагорейцами было сделано много открытий в каждом из этих направлений науки того времени. Одно из самых важных – это известная теорема Пифагора. Долгое время считалось, что до Пифагора эта теорема не была известна и поэтому она получила такое название. Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Заслуга Пифагора заключается в том, что он впервые доказал её. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принёс богам в жертву быка, а по другим источникам 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он “запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как мы”. Пифагор питался только мёдом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: “…и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принёс в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.

4. Доказательство теоремы Пифагора.

1. Доказательство теоремы через построение квадрата со стороной, равной сумме катетов. (По учебнику Л.С.Атанасяна “Геометрия,7-9” (с использованием презентации)

Примерное содержание выступления.

Теорема Пифагора гласит “в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. На сегодняшний день в мире известно около 150 способов доказательства этого утверждения Я докажу теорему способом, предложенным в учебнике геометрии Атанасяна.

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с и достроим его до квадрата со стороной а+в (см. рис.). У этого квадрата сторона а+в , а его площадь равна S _кв = (a+b)².

Четырёхугольник KMNP – квадрат, т.к.<1=<2=<3=<4 и <5=<6=<7=<8 => <1+<8 = = <2+<5 = <3+<6 = <4+<7 =90⁰. Найдём площадь квадрата ABCD: S _кв=4Sтр + S_1кв =4x1/2 ab + c² = 2ab + c². Тогда (a+b)²= 2ab+c²,

a² + 2ab + b² = 2ab +c² , a²+ b²= c².

Примерное содержание выступления.

Далее предлагается учащимся решить геометрические задачи по готовым чертежам (с использованием презентации).

Форма работы может быть разная: фронтальное устное прорешивание задач или организация конкурса между экспромтом созданными командами.

4. Практическое применение теоремы Пифагора

Задача 1. В древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах. Я предлагаю вам решить одну из таких задач.

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“Как озера вода здесь глубока?”

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда

AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² – AC² = BC²,

(Х + 0,5 )² – Х² = 2²,

Х²+ Х + 0,25 – Х² = 4, Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута

Задача 2.

Примерное содержание выступления.

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён. Состоит он в следующем. Пусть через точку А к прямой МК требуется провести перпендикуляр. Откладывают от А по направлению АМ четыре раза какое – нибудь расстояние а. Затем завязывают на шнуре три узла, расстояние между которыми равны 3а и 5а. Приложив крайние узлы к точкам А и В, натягивают шнур за средний узел. Шнур расположится треугольником, в котором угол А – прямой. Этот способ, по – видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, - прямоугольный, так как

3²+ 4² = 5².

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”.

Кроме чисел 3, 4, 5, существуют, как известно множество других чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению

a ² + b ² = c ².

Эти числа называют пифагоровыми числами.

Согласно теореме Пифагора, такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника: поэтому a и b называют “катетами”, а с – “гипотенузой”. Ясно, что если a,b,c есть тройка пифагоровых чисел, то и pa, pb, pc, где р – целочисленный множитель, - пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют множитель, то на этот общий множитель можно всё сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел.

Покажем, что в каждой из таких троек а, b, c один из “катетов” должен быть чётным, а другой нечётным. Станем рассуждать “ от противного”. Если оба “катета” a и b чётны, то чётным будет число a² + b², а значит, и “гипотенуза” чётная. Это, однако, противоречит тому, что числа a, b, c не имеют общих множителей, так как три чётных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из “катетов” a, b нечётен.

Остаётся ещё одна возможность: оба “катета” нечётные, а “гипотенуза” чётная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если катеты” имеют вид 2х+1 и 2у + 1, то сумма их квадратов равна

4х ² + 4х + 1 + 4у ² + 4у + 1 = 4(х ² + х + у ² + у) + 2,

То есть представляет собой число, которое при делении на 4 даёт в остатке 2. Между тем, квадрат всякого чётного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом чётного числа, иначе говоря, наши три числа – не пифагоровы.

Итак, из “катетов” a и b один чётный, а другой нечётный. Поэтому число а ² + b ² нечётно, а значит, нечётна и “гипотенуза” с.

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательства:

1) один из “катетов” должен быть кратен трём;

2) один из “катетов” должен быть кратен четырём;

3) одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;

4) пифагоровы числа можно вычислить по формулам

m ²+ n ², m ² – n ², 2mn,

где m и n – любые натуральные числа

Литература.

1. Атанасян Л.С. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений. 10 – е изд.- М.: Просвещение, 2000.

2. Волошин А.В. Пифагор. – М., Просвещение, 1993.

3. Даан – Дальмедино А., Пейффер Ж. Очерки по истории математики. Пути и лабиринты. М., Просвещение, 1959.

4. Литцман В. Теорема Пифагора.М., Просвещение,1960.