Индивидуальный проект на тему "Методы подобия в задачах на построение""

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕСИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по дисциплине «Математика»

на тему: «Методы подобия в задачах на построение»

Выполнила студентка группы: 20-ПД1-9

Специальность:

Правоохранительная деятельность

ФИО: Филиппова Юлия Андреевна

Руководитель: Ширяева Елена Александровна

Подпись ________________

Краснодар, 2021

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность данной темы заключается в грамотном использовании «методов подобия» в жизни, а также в умении решать задачи на построение этим методом, ведь современном мире человек уже не задумывается об использовании научных знаний, а привык предпочитать интернет. Для более подробного изучения в качестве индивидуального проекта я выбрала тему, связанную именно с задачами на построение, так как они будут сопровождать нас в математике довольно долго. Поэтому, стоит больше внимания уделить не только задачам на построения, но и методам их решения. Так как большинство задач можно решить методом подобия, я рассмотрю именно его. Этот материал, пройденный в школе почти три года назад мы забыли, поэтому, пришло время его повторить.

Целью работы является изучение методов подобия, различных решений задач на данную тему, а также грамотное их применение. Более того, нам предстоит научится решать не только задачи из учебника, но и задачи, которые нас окружают в привычном для нас мире. Так же, на основе проделанной работы сделать обобщение и создать методическую книжку, с которой решать задачи было бы гораздо легче, и конечно, подтвердить актуальность темы индивидуального проекта.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- изучить методы и методику решения задач на построение

- познакомиться с определением подобных треугольников, многоугольников и произвольных фигур

- повторить уже ранее изученный материал по теме «подобие»

- уметь решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки

- узнать, где может пригодиться метод подобия в жизни

- уметь применять метод подобия на практике

1. Методы решения задач на построение

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1) Метод геометрических мест

2) Методы геометрических преобразований

а) метод центральной симметрии;

б) метод осевой симметрии;

в) метод параллельного переноса;

г) метод поворота;

д) метод подобия;

3) Алгебраический метод.

Рассмотрим более подробно метод подобия

Понятие подобия

Подобие в математике, понятие, означающее наличие у геометрических фигур одинаковой формы, независимо от их размеров.

В окружающем мире часто встречаются предметы, одинаковые по форме, но различные по размерам: мыльный пузырь и футбольный мяч, небольшая модель ледокола и сам корабль, карты, фотоснимки различных размеров одного и того же здания. В геометрии такие фигуры называютподобными.

Существуют фигуры, которые всегда подобны друг другу, например, круги, квадраты, кубы.

Метод подобия состоит в том, что сначала строится некоторая фигура, подобная искомой, но удовлетворяющая не всем поставленным в задаче условиям. Затем построенную вспомогательную фигуру заменяем фигурой, ей подобной и удовлетворяющей уже всем требуемым условиям.

Задача решается методом подобия, если ее условие можно разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая – размеры фигуры.

2. Методика решения задач на построение

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

2.1. Рекомендации по методу подобия

При разработке метода подобия целесообразно классифицировать решаемые задачи по способу задания размеров искомой фигуры:

1) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием некоторого отрезка;

2) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков;

3) задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются положением ее относительно данных фигур.

Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой из трех групп задач способы выбора центра подобия различны.

В задачах из первой группы за центр подобия лучше всего выбирать один из концов отрезка вспомогательной фигуры, соответствующего данному отрезку, через который проходит наибольшее число прямолинейных отрезков искомой фигуры.

При таком выборе легко находить одну точку (второй конец данного отрезка) искомой фигуры, что в большинстве случаев значительно облегчает выполнение дальнейшего построения.

И для задач второй группы за центр подобия можно выбирать один из концов построенной суммы или разности отрезков, соответствующей данной. Целесообразно расчленить подобное преобразование: отдельно найти один из отрезков, сумма или разность которых дана, а затем выполнить построение искомой фигуры.

При решении задач третьей группы центр подобия уже определяется, и в большинстве случаев однозначно, расположением фигуры, подобной искомой, относительно данных фигур.

2.2. Подобие треугольников

Определение. Подобными называют треугольники, у которых углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников:

Теорема 1. Прямая, пересекающая две стороны треугольника и проведенная параллельно третьей стороне, отсекает треугольник, подобный данному.

Для выявления подобия треугольников существуют признаки подобия треугольников.

Теорема 2. (Первый признак — по двум равным углам.) Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Следствия из этой теоремы.

1. Равносторонние треугольники подобны.

2. Равнобедренные треугольники подобны, если они имеют по равному углу при вершине или при основании.

3. Два прямоугольных треугольника подобны, если они имеют по равному острому углу.

4. Равнобедренные прямоугольные треугольники подобны.

Теорема 3. (Второй признак — по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними.) Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Следствие. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

Теорема 4. (Третий признак — по пропорциональности трех сторон.) Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Подобные треугольники могут быть произвольно расположены как на плоскости, так и в пространстве.

Коэффициент подобия треугольников:

Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия, т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии пропорциональны.

Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

2.3. Подобие многоугольников

Подобными фигурами могут быть не только треугольники.

Определение.Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны. Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое число сторон (углов).

Для многоугольников с числом сторон больше трех признак подобия, аналогичный третьему признаку подобия треугольников, будет неверен. Например, квадрат и ромб, отличный от квадрата, не будут подобны, хотя их стороны пропорциональны. Недостаточно для подобия двух прямоугольников и равенства их соответствующих углов. Например, квадрат не подобен четырехугольнику, не все стороны которого равны.

Также важно понять коренное отличие между равенством фигур и их подобием. По сути говоря, равенство – это подобие фигур с коэффициентом подобия, равном единице, частный случай подобия, параллельный перенос фигуры в пространстве. При этом, некоторые элементы, например, углы в треугольниках, у подобных фигур могут быть равны, а некоторые – нет, что вносит определенную путаницу в решениях. Равные фигуры всегда идентичны полностью, и всех их параметры равны между собой.

2.4. Подобие произвольных фигур

В повседневной жизни нас с вами окружают множество различных предметов. Часть из них имеют одинаковые размеры и одинаковую форму. Например, две одинаковые ручки или две одинаковых монеты и т.д. В геометрии фигуры, имеющие одинаковые размеры и форму, называются равными фигурами.

Из этого определения следует, например, что если прямоугольник и квадрат имеют равные площади, то это не значит, что они являются равными фигурами, так как это разные по форме фигуры. Другой пример: любые две окружности имеют одну и ту же форму, но если их радиусы различны, то это тоже не равные фигуры, так как не совпадают их размеры. Равными фигурами являются, например, два отрезка одинаковой длины, два круга с одинаковым радиусом, два прямоугольника с попарно равными сторонами.

Следует отметить, что не все фигуры можно сравнивать. Нельзя определить равенство прямых, т. к. любая прямая бесконечна и, следовательно, все прямые, можно сказать, равны между собой. То же самое касается лучей. Хотя у них есть начало, но нет конца.

Если же мы имеем дело с произвольными фигурами, то иногда даже сложно определить, имеют ли они одинаковую форму. Таким образом, нужно иметь надежный метод сравнения фигур. Он заключается в следующем: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

3. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

Мы привыкли в задачах на построение переносить фигуры к себе в тетрадь с помощью клеток этой тетради и измерительных делений линейки. А что мы будем делать, если перед нами лежит лист бумаги без клеток и линейка, на которой нет сантиметровых делений, а нам нужно перенести чертеж? Пришло время этому научиться!

3.1. Построение отрезка, равного данному

Построение отрезка, равного данному отрезку АВ ( рис.1) выполняется с помощью циркуля таким образом: одну ножку циркуля устанавливают на один конец отрезка АВ, а другую — на другой его конец и, не меняя раствора циркуля, переносят его на некоторую прямую так, чтобы конец одной ножки отметил какую-нибудь точку N, тогда конец другой ножки циркуля отметит некоторую точку Р на этой же прямой. Отрезок NP будет равен отрезку АВ.

Рисунок 1- построение отрезка, равного данному

3.2. Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB (рисунок 2). Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A. Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D. Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Рисунок 2 - деление отрезка пополам

3.3. Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC (рисунок 3). Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N. Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K. Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Рисунок 3 - построение угла, равного данному

4. Применение методов подобия на практике: решение задач

Очень важно научиться грамотно применять методы подобия для различных фигур в задачах, а также понять теоремы и вытекающие из них следствия не только в теории, но и на практике.

4.1. Решение задач на построение методом подобия

Решение задач на построение методом подобия. Основная идея метода подобия состоит в следующем. Сначала строят фигуру, подобную искомой, так, чтобы она удовлетворяла всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, как фигуру, подобную построенной и удовлетворяющую опущенному требованию.

Задача 1.

Покажите, что два треугольника на рисунке 4 являются подобными.

Решение:

Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить третий признак подобия треугольников:

PQ/AB=6/2=3

QR/CB=12/4=3

PR/AC=15/5=3,

Т.к. все отношения равны 3, то треугольники подобны.

Рисунок 4 – два подобных треугольника

Задача 2.

Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Решение

Пусть ΔАВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С (Рисунок 5), CD — высота, проведённая из вершины С к гипотенузе АВ (рис. 5). Докажем, что ΔABC ∼ ΔACD, ΔABC ∼ ΔCBD, ΔACD ∼ ΔCBD.

Рисунок 5 - прямоугольный треугольник с прямым углом С

Треугольники АВС и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников (∠A — общий, ∠ACB = ∠ADC = 90°). Точно так же подобны треугольники АВС и CBD (∠B — общий и ∠ACB = ∠BDC- 90°), поэтому ∠A = ∠BCD. Наконец, треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и ∠A = ∠BCD), что и требовалось доказать.

Задача 3.

Построить трапецию ABCDпо углу Аи основанию ВС,если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3.

Рисунок 6 - отрезок PQ Рисунок 7 - построение

Решение. Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис.6). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой A = hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой А = hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1 (рис. 6). После этого через точку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1, с центром в точке D1. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С1 и C1'.

Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых A = hk и стороны АВ1, ВС1 (В1С1') и C1Dl (С1'D1) относятся как 1:2:3.

Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В1АС1, который параллелен B1C1 и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB1. Она пересекается с прямой АС1 в точке С (рис. 8). Через точку С проводим прямую, параллельную B1C1, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самом деле, А = hk, BC = PQ и (это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.

Рисунок 8 – прямая, параллельная AB1 пересекается с прямой АС1 в точке С

Построенная трапеция ABCDудовлетворяет всем условиям задачи.

Задача 4.

Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке 9.

Рисунок 9 – подобные треугольники ABC и CDE

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.

Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC

∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
DE/AB = 7/11 = CD/CA = 15/CA

От сюда следует: CA=15*11/7 = 23.57

x = AC - DC = 23.57 - 15 = 8.57

Ответ: 8.57.

5. Продукт к проекту

В качестве продукта к моему проекту сначала я хотела сделать макет жилого дома в точном масштабе, но потом подумала: «Какую пользу принесет данная самостоятельная работа, проделанная на основе проекта?»

Поэтому, я решила сделать методичку - небольшую книжку, в которой будут содержатся минимальные сведения по теме индивидуального проекта, помогающие освоить материал. В методичке будут прописаны: методика, алгоритм по решению задач, а также мои личные рекомендации, как лучше запомнить и освоить данную тему. Я думаю, с помощью нее, ребятам будет легче не только ориентироваться в теории, но и понять для себя, какой алгоритм им удобнее использовать при решении и тем самым, сократить время решения задач на тему проекта.

Анкетирование.

Среди моих одногруппников я провела небольшой опрос на тему «Умеете ли вы применять метод подобия в жизни, а именно: определять высоту любого предмета, измерять ширину и глубину реки, как направлена (ориентирована) данная линия относительно сторон света только при помощи геометрии?»

Результаты опроса:

7% - ответили, что даже не представляют как это

56% - «нет»

28% - «50/50»

9% - «да»

Следовательно, результаты опроса говорят о том, что данная тема будет новой и актуальной для ребят.

6. Где может пригодиться метод подобия в жизни

Метод подобия пригодиться нам не только при решении задач по математике, но и при определении высоты предмета, расстояния до недоступной точки, так же при построении макета какого-либо сооружения.

Например:

Определение высоты предмета по шесту. Для измерения нужно взять шест, равный по длине вашему росту. Шест этот надо установить на таком расстоянии от дерева, чтобы лежа можно было видеть верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Тогда высота дерева будет равна линии, проведенной от вашей головы до основания дерева.

По луже. Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершинка предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

Не переплывая реки, измерить её ширину – так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Неприступное расстояние измеряют теми же приёмами, какими мы измеряли недоступную высоту. Ширина реки достаточно точно может быть определена способом построения на берегу реки двух равных прямоугольных треугольников.

Близ берега реки мы отыскали водное растение, которое доставило нам реальный материал для практической задачи: без всяких приспособлений, не замочив даже рук, определить глубину водоёма в неглубоком месте.

Можем построить макет жилого дома, зная лишь его высоту и ширину, остается только рассчитать масштаб.

Как направлена (ориентирована) данная линия относительно сторон света.

6.1 Рассмотрим некоторые примеры из жизни на практике

Измерим глубину реки при помощи растения (рис. 10).

Решение: пусть растение возвышается над водой на 0,5м. перегнём его так, чтобы его надводная часть коснулась воды. Тогда расстояние от стебля (точки С) до точки В, касания с водой, составило 1,5м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BDС. Обозначим искомую глубину реки СD через х. (рис.9). Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

BD² =DС²+СВ², значит BD² =х²+СВ²

ВD= х+0,5, расстояние СВ=1,5м, получим

(х+0,5)²=х² + 1,5²,

х²+х+0,25=х²+2,25, отсюда х=2

Ответ: искомая глубина реки составила 2м.

Рисунок 10 – п/у треугольник при вычислении глубины реки

Измерение ширины реки

Ширина реки достаточно точно может быть определена способом построения на берегу реки двух равных прямоугольных треугольников. Выбрав на противоположном берегу какой-нибудь приметный предмет А (дерево, камень и т. п.), расположенный у самой воды, вбиваем против него колышек В (рис.11). Вдоль берега, перпендикулярно к линии АВ, отмеряем рулеткой определенное расстояние (например 20 м) и вбиваем колышек С. На продолжении линии ВС в расстоянии, равном также 20 м, вбиваем еще один колышек Д. От колышка Д в направлении ДЕ, перпендикулярном к линии ДВ, надо идти от реки до тех пор, пока колышек С не окажется на одной линии с предметом А. Так как треугольники ABC = ЕDC, то ширина реки будет равна расстоянию ДЕ.

Рисунок 11 – измерение ширины реки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены основные этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Также рассмотрены основные методы и способы решения задач на построение.

В ходе работы была поставлена цель, а именно, изучение методов подобия, различных решений задач на данную тему, а также грамотное их применение. Более того, нам предстояло научится решать не только задачи из учебника, но и задачи, которые нас окружают в привычном для нас мире. Так же, на основе проделанной работы было необходимо сделать обобщение и создать методическую книжку, с которой решать задачи было бы гораздо легче, и конечно, подтвердить актуальность темы индивидуального проекта.

Рассматривая и анализируя материалы литературы, было выяснено, что изучение методов подобия поможет не только решить нам учебные задачи по программе геометрии, но и пригодятся нам в обычной жизни при определении каких-либо размеров.

Также, для достижения цели были поставлены задачи, такие как:

- изучить методы и методику решения задач на построение

- познакомиться с определением подобных треугольников, многоугольников и произвольных фигур

- уметь решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки

- повторить уже ранее изученный материал по теме «подобие»

- узнать, где может пригодиться метод подобия в жизни

- уметь применять метод подобия на практике

В процессе выполнения работы все перечисленные цели и задачи были успешно выполнены, актуальность подтвердилась.

Таким образом, подводя итоги, стоит отметить, как важна роль метода подобия не только в задачах на построение, но и в нашей жизни в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. – М.: Учпедгиз,1954.

Белошистая, А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии / А. В. Белошистая // Математика в школе. – 2002. – №9. – С. 47-50.

Геометрия: учеб. для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2004.

Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1992.

Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 1991.

Задачи на построение 8 классhttps://uchitelya.com/geometriya/83284-prezentaciya-zadachi-na-postroenie-8-klass.html

Геометрия: доп.главы к шк.учеб.8 кл.: учеб.пособие для учащихся шк.и классов с углубл.изуч.математики / Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Д. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.

Подобные треугольники - признаки, свойства и теоремы
https://nauka.club/matematika/geometriya/podobnyе-treugolniki.html