Касательная к графику функции
Касательная - это прямая, которая соприкасается с графиком функции в одной точке, при этом все ее точки находятся на наименьшем расстоянии от графика.
В каждой точке графика функции возможно провести только одну касательную.
На рисунках показаны различные варианты касательных к графикам функций.
Угол наклона касательной к оси Ох острый | Касательная к графику функции параллельна оси Ох | Угол наклона касательной к оси Ох тупой |
Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид: , где это угловой коэффициент, который характеризует положение прямой относительно оси Ох, он равен . Если угол острый, то , если тупой - , если же прямая параллельна оси, то .
Производная функции в точке х0 есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке х0. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Пример 1. Определить тангенс угла наклона к оси Ох касательной к графику функциив точке с абсциссой х0 = – 1.
Для того, чтобы найти тангенс угла наклона касательной, вычислим производную функции в общем и виде и подставим в нее значение х0:
;
.
Таким образом, .
Ответ. 2.
Уравнение касательной к графику функции в точке касания с координатами (х0; у0) имеет вид:
Пример 2. Для функции из Примера 1 составить уравнение касательной в той же точке.
По условию касательная проходит через точку х0 = – 1. Вычислим значение функции в этой точке у0:
Значение производной в точке касания мы уже посчитали в Примере 1:
.
Подставляем все найденные величины в уравнение касательной:
.
Приведем его к привычному виду, для этого в левой части оставим только у, раскроем скобки и приведем подобные:
;
;
.
Это и есть искомое уравнение касательной в точке х0 = – 1.
Ответ. .
Сформулируем алгоритм составления уравнения касательной к графику функции в точкех0.
Алгоритм составления уравнения касательной
1) Вычислить значение функции в точке касания .
2) Найти производную функции .
3) Вычислить значение производной в точке касания .
4) Подставить полученные значения в формулу и привести к привычному виду.
Рассмотрим еще один пример на составление уравнения касательной к графику.
Пример 3. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку М (0; – 1).
Согласно алгоритму, сначала нужно вычислить значение функции в точке касания, но так как нам задана точка М, то это значение считать не нужно, так как его можно взять из координат .
Таким образом, .
Переходим ко второму пункту – вычисляем производную функции:
.
Третий пункт – находим значение производной в точке М:
.
И, наконец, составляем уравнение:
;
;
.
Ответ. .
Нормаль к графику функции
Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной.
Уравнение нормали:
Алгоритм составления уравнения нормали
1) Вычислить значение функции в точке касания .
2) Найти производную функции .
3) Вычислить значение производной в точке касания .
4) Подставить полученные значения в формулу и привести к привычному виду.
Пример 4. Для функции из Примера 1: составить уравнение нормали в той же точке х0 = – 1.
Действуем согласно алгоритму, он аналогичен алгоритму для касательной.
Первые три пункта мы уже выполнили в Примерах 1 и 2:
Нам осталось только подставить найденные значения в формулу нормали и привести полученное уравнение к привычному виду:
;
;
;
.
Это и есть искомое уравнение нормали.
Ответ. .
И последний пример для закрепления.
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания х0 = – 2.
Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
..
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Теперь у нас есть всё, чтобы получить уравнение касательной:
;
;
.
Теперь можем составить и уравнение нормали:
;
;
.
На рисунке ниже: график функции – бордового цвета, касательная – зелёного цвета, нормаль – оранжевого цвета.
Ответ. Касательная: ; нормаль: .
