МОУ «СОШ №31» Энгельсского района Саратовской области
Статья по теме : «Интересные» задачи – инструмент формирования функциональной грамотности школьников на уроках математики.
Учитель математики Волосожар М.И.
2022 г.
Сегодня общество и экономика делают запрос на функционально грамотных специалистов, т.е. на таких специалистов, которые могут не только осваивать новые знания, но и применять их в новых обстоятельствах. Молодому человеку, вступающему в самостоятельную жизнь в условиях современного рынка труда, необходимо быть эффективным работником и творческим, самостоятельным, ответственным, коммуникабельным человеком. Ему должна быть присуща потребность к познанию нового, умение находить и отбирать нужную информацию. Функциональная грамотность - один из важнейших индикаторов общественного благополучия, функциональная грамотность школьников – важный показатель качества образования.
Чтобы оценить уровень функциональной грамотности своих учеников, учителю нужно дать им нетипичные задания, в которых предлагается рассмотреть некоторые проблемы из реальной жизни. Решение этих задач, как правило, требует применения знаний в незнакомой ситуации, поиска новых решений или способов действий, т.е. требует творческой активности.
Одной из составляющих функциональной грамотности является математическая грамотность. В концепции по математике исследования PISA-2021 ключевой составляющей понятия «математическая грамотность» является МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАССУЖДЕНИЕ. Способность рассуждать логически и убедительно формулировать аргументы – это навык, который приобретает все большее значение в современном мире.
Один из важных аспектов математической грамотности – это применение математики в различных ситуациях, которые связаны с личной и школьной жизнью, местным обществом, общественной жизнью, работой и отдыхом.
Какие основные проблемы возникают при формировании функциональной грамотности на уроках математики.
Основная проблема при формировании математической функциональной грамотности: как сформулировать (переформулировать) задачу, чтобы найти тот математический аппарат, с помощью которого уже можно решить привычную математическую задачу? Как оценить математические связи между событиями. Кроме того, важна интерпретация результата, полученного математическими вычислениями, обратный перевод с математического языка на язык решаемой проблемной задачи. Важно, чтобы учащиеся поняли, что реальные объекты и процессы в жизни редко принимают правильную математическую форму. Тем не менее, во всех рассматриваемых задачах можно найти подходящую математическую модель, распознать математическую составляющую в модели. Типы задач, которые рассматриваются на уроках математики, описывающие реальные проблемы: - повседневные дела – покупки, здоровье, приготовление еды, обмен валют, оплата счетов, туристические маршруты; - трудовая деятельность – подсчеты заказа материалов, измерения; - общественная жизнь – демография, экология, прогнозы, изучение динамики социальных процессов. - наука – работа с формулами из различных областей знаний.
Ведущее место в «математической грамотности» отводится учебной задаче. «Учебная задача» - в широком понимании - это то, что выдвигается самим учеником для выполнения в процессе обучения в познавательных целях. Учебная задача часто рождается из проблемной ситуации, когда ученик сталкивается с чем-то новым, неизвестным, но решение учебной задачи состоит не в нахождении конкретного выхода, а в отыскании общего способа действия, принципа решения целого класса аналогичных задач. Учебная задача решается школьниками путем выполнения определенных действий: знаю – не знаю – хочу узнать.
По –моему учебная задача должна отвечать следующим требованиям:
- условие должно быть интересным;
- в решении задачи должен быть нестандартный элемент. Например, в задаче может быть несколько решений или несколько ответов;
- задача должна иметь практическую значимость, с ее помощью можно решить важный во всяком деле вопрос;
- задача должна с виду быть сложная, но в ней должна быть мелкая деталь, с помощью которой она решалась наглядно и легко.
Исходя из требований, приведу примеры так называемых "интересных" учебных задач, которые применяю на своих уроках для развития и формирования математической грамотности.
Математические задачи с интересным решением.
1.Найдите уравнение касательной к графику функцииy=
в точке =0.
Решение.
Эта задача достаточно стандартна и решается по стандартному алгоритму ( с поправкой на все возможные ошибки, которые может допустить ученик при дифференцировании сложной функции). Но эту задачу можно решить устно , заметив , что равенствоy= равносильно системе
x² +y² =1,
y ≥ 0
то есть задает полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Касательной к ней в точке =0 является прямая y=1.
2.Найдите синус острого угла ромба со стороной 25 см и площадью 300 см².
Решение.
« Естественный» подход к решению - попытка провести диагонали ромба и найти их длины - может привести к ответу только при использовании синуса двойного угла. Правильный путь решения - найти прямоугольный треугольник, содержащий искомый острый угол. Для этого достаточно провести высоту ромба из вершины тупого угла.
S=ab sin
300= 25·25 sin
sin
Указание « Найдите прямоугольный треугольник, содержащий искомый угол» выводит на необходимость построения высоты ромба. Замечу также, что решение, полученное самостоятельно ( пусть даже с подсказкой ), запомнится гораздо лучше, чем решение, показанное учителем или одноклассником.
3. Из точки М, лежащей на катете ВС прямоугольного треугольника АВС, проведен перпендикуляр МД к гипотенузе АВ. Докажите, что угол МАД равен углу МСД.
Решение этой задачи достаточно оригинально и лаконично. Поскольку в четырехугольнике АДМС
, то около него можно описать окружность. Тогда как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Такая задача, безусловно, имеет интересное решение: выход в новую поисковую область, связанный с применением искусственного приема введения вспомогательной окружности, - один из самых нетривиальных подходов к решению планиметрических задач.
4. Решить уравнение
= -│x²+6x+5│
Решение.
Это один из многочисленных примеров использования свойств функций для решения уравнений. Однако специальных знаний он не требует, поскольку прием решения
« прозрачен» : уравнение представляет собой запись «квадратный корень равен отрицательному числу». Очевидно, что равенство возможно только в случае, когда правая и левая части равны нулю, то есть при х = -5.
Интересные логические задачи.
1.В токарном цехе завода вытачиваютсядетали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки — деталь. Стружки, получившиеся при выделке шести деталей, можно переплавить и приготовить ещё одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из тридцати шести свинцовых заготовок?
Решение.
При недостаточно внимательном отношении к условию задачи рассуждают так: тридцать шесть заготовок — это тридцать шесть деталей; так как стружки каждых шести заготовок дают ещё одну новую заготовку, то из стружек тридцати шести заготовок образуется шесть новых заготовок — это ещё шесть деталей; всего 36 + 6 = 42 детали.
Забывают при этом, что стружки, получившиеся от шести последних заготовок, тоже составят новую заготовку, то есть ещё одну деталь. Таким образом, всего деталей будет не 42, а 43.
2. Задача ( во время прилива). Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду верёвочной лестницей вдоль борта. У лестницы десять ступенек; расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды.
Океан сегодня очень спокоен, но начинается прилив, который поднимает воду за каждый час на 15 см. Через какое время покроется водой третья ступенька верёвочной лесенки?
Решение. Когда задача касается какого-либо физического явления, то непременно следует учитывать все его стороны, чтобы не попасть впросак. Так и здесь.
Никакие расчёты не приведут к истинному результату, если не принять во внимание, что вместе с водой поднимутся и корабль, и лестница, так что в действительности вода никогда не покроет третьей ступеньки.
3. Задача. Три брата получили 24 яблока, причем младшему досталось меньше всех. Самый младший, мальчик очень смышлёный, предложил братьям такой обмен яблоками:
— Я, — сказал он, — оставлю себе только половину имеющихся у меня яблок, а остальные разделю между вами поровну. После этого пусть средний брат тоже оставит себе половину, а остальные яблоки даст мне и старшему брату поровну, а затем и старший брат пусть оставит себе половину всех имеющихся у него яблок, а остальные разделит между мной и средним братом поровну.
Братья, не подозревая коварства в таком предложении, согласились удовлетворить желание младшего. В результате… у всех оказалось яблок поровну. Сколько яблок было у каждого первоначально?
Решение.
Решим задачу "обратным ходом", изобразив изменения количества яблок схематически:
Так как в конечном итоге яблок стало поровну, то их стало по 8. При последнем изменении старший брат оставил себе половину, значит, у него до того было 16 яблок. Младшим он отдал другу половину − 8 яблок, разделив их поровну между братьями, значит, до этого младший и средний братья имели по 4 яблока (3−й столбец схемы).
Средний брат отдал своим братьям половину того, что имел сам, то есть до этого момента он имел 8 яблок, младший брат имел 2 яблока, старший − 14 яблок (2−й столбец схемы).
Младший брат отдал своим братьям половину того, что имел сам, т.е. до этого момента он имел 4 яблока, средний брат имел 7 яблок, старший − 13 яблок (1−й столбец схемы).
Ответ: у младшего брата было 4 яблока, у среднего − 7, у старшего − 13.
Для формирования устойчивого интереса и тренировки учащихся к математике необходимо дополнительно вовлекать их в математическое творчество. Поэтому я на своих уроках и на занятиях математического кружка предлагаю решить детям задачи , которые предлагают крупные технологические компании на собеседовании претендентам на работу , чтобы проверить их аналитические способности и творческое мышление. Узнайте, под силу ли вам такие задания.
1.Задача (об испорченных таблетках) На столе стоят пять баночек с таблетками. В одной из них все таблетки испорчены. Определить это можно только по весу. Обычная пилюля весит 10 граммов, а испорченная — 9 граммов. Как узнать, в какой баночке лежат испорченные таблетки? Можно воспользоваться весами, но только один раз.
Решение. Сначала присвоим каждой баночке порядковый номер от одного до пяти. Затем положим на весы одну таблетку из первой банки, две из второй банки, три из третьей, четыре из четвёртой, пять из пятой. Если бы все таблетки были нормального веса, результат получился бы такой: 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150 граммов. Но в нашем случае вес будет меньше как раз на то количество граммов, которое соответствует номеру баночки с испорченными таблетками. Например, у нас получился вес 146 граммов. 150 − 146 = 4 грамма. Значит, испорченные таблетки лежат в четвёртой банке. Если вес 147 граммов, то испорченные таблетки в третьей банке.
Есть и другой вариант решения. Взвешиваем одну таблетку из первой банки, две из второй, три из третьей, четыре из четвёртой. Если вес меньше 100 граммов, то количество недостающих граммов укажет на бракованную упаковку. Если вес ровно 100 граммов, то испорченные пилюли находятся в пятой баночке.
2. Задача о муравьях-путешественниках.
В трёх углах равностороннего треугольника сидит по муравью. Каждый из муравьёв начинает двигаться в другой случайно выбранный угол по прямой. Какова вероятность того, что ни один из них не столкнётся с другим?
Решение. Муравьи не столкнутся друг с другом или когда все будут двигаться по часовой стрелке, или когда все — против часовой стрелки. В остальных случаях встреча неизбежна. Каждый муравей может пойти в две стороны, всего муравьёв три. Значит, число возможных комбинаций направлений таково: 2 × 2 × 2 = 8. Из всех комбинаций только две удовлетворяют условию, что они не встретятся. Вспоминаем формулу вычисления вероятностей: p = m ÷ n, где m — число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n — число всех равновозможных исходов. Подставим наши цифры: 2 ÷ 8 = ¼. Значит, шанс избежать столкновения — один из четырёх.
3.Задача о горящих веревках.
Есть две верёвки, пропитанные бензином для лучшей воспламеняемости. Каждая из них сгорает ровно за час. Известно, что верёвки горят с непостоянной скоростью: некоторые отрезки быстрее, некоторые медленнее. Но для завершения процесса всегда требуется час. Как можно узнать, что прошло 45 минут, используя только эти две верёвки и зажигалку?
Решение. Нужно одновременно поджечь первую верёвку с двух концов, а вторую верёвку только с одного конца. Эти верёвки не должны соприкасаться. Первая сгорит за 30 минут — именно через столько встретятся подожжённые с обеих сторон кончики. Когда это произойдёт, у второй верёвки останется длины только на 30 минут горения. Нужно быстро поджечь её со второго конца, тогда огоньки встретятся через 15 минут, а всего пройдёт 45.
4. Задача о переливании воды.
Есть два ведра ёмкостью 3 и 5 литров, а ещё неограниченный запас воды. Как можно отмерить ровно 4 литра воды с их помощью? Наливать и выливать жидкость на глаз нельзя, переливать её в какие‑то ёмкости и места, не обозначенные в условии, тоже.
Решение. Нужно налить 5 литров воды в большое ведро, потом перелить из него 3 литра воды в маленькое. В большом ведре останется 2 литра воды. Теперь выливаем из маленького ведра 3 литра воды и переливаем в него те 2 литра, что оставались в большом ведре. Заново наполняем до краёв пятилитровое ведро, отливаем из него один литр в трёхлитровое ведро, в котором уже есть два. Значит, в большом ведре останется 4 литра, которые нам и были нужны.
5. Задача о фруктах и коробках.
Решение. Перед вами три коробки с фруктами. В одной из них только яблоки, в другой — только апельсины, в третьей — и яблоки, и апельсины. Что за фрукты находятся внутри коробок, вам не видно. На каждой из коробок есть этикетка с надписью, но информация на ней неверна.
Вы можете с закрытыми глазами взять из любой коробки один фрукт и потом рассмотреть его. Как определить, какие фрукты находятся в каждой коробке?
Решение. Помним о том, что все коробки помечены неправильно. Значит, в каждой лежит не то, что указано на этикетке. То есть в коробке с надписью «Яблоки + апельсины» могут быть либо только яблоки, либо только апельсины. Достаём оттуда фрукт. Допустим, нам попалось яблоко. Значит, это коробка с яблоками. Осталось две коробки: с пометкой «Яблоки» и с пометкой «Апельсины». Помним о том, что информация на этикетках неверная. Значит, в коробке с пометкой «Апельсины» могут быть либо яблоки, либо смесь фруктов. Но яблоки мы уже нашли. Следовательно, в этой коробке находится смесь фруктов. В оставшейся коробке с надписью «Яблоки», получается, находятся апельсины. Аналогичные рассуждения позволяют решить задачу, если бы мы достали из коробки с надписью «Яблоки + апельсины» апельсин.
Для формировании функциональной грамотности на уроках математики я использую ресурсLearningsApps .Задания, созданные в LearningАpps. org, я использую при устной работе (викторины, найди пару, установи соответствие), при обобщении и систематизации полученных знаний (интерактивная викторина «Кто хочет стать миллионером?»), при контроле знаний (тесты, кроссворды). Закрепить изученные основные геометрические и алгебраические определения позволяет использование викторины с выбором правильного ответа. Ответ проверяется мгновенно и учащиеся, повторив материал, могут ответить еще раз. Применение данного сервиса позволяет быстро получить объективную картину усвоения изученного материала и провести своевременную коррекцию. Кроме того, викторины для нескольких игроков формируют у учащихся коммуникативные действия.
Тест на выбор ответа + игра «Кто хочет стать отличником»
Адрес размещения:
https://learningapps.org/display?v=pnhh8n1za
Краткое описание: данный ресурс удобно использовать при обобщении и систематизации знаний по любой из тем математики. Использование заданий в викторине «Кто хочет стать отличником?», позволяет создать на уроке ситуацию успеха для слабых учащихся, так как позволяет им выбирать свой уровень сложности заданий по заданной теме.
Ресурс «Графики функций (элементарные)»
Адрес размещения:
https://learningapps.org/1611230
Краткое описание: данный ресурс позволяет систематизировать знания учащихся по графикам элементарных функций. Устанавливает не только соответствие изображений с названиями функций , но позволяет связать между собой название функции с формулой , графиком. Очень удобно пользоваться при подготовке учащихся 9 класса к ОГЭ по математике при выполнении задания 11.
Таким образом, и на уроках математики, и вне урока, можно организовать работу с учащимися по формированию их функциональной грамотности.
Литература.
Бахтина, Т.П. Раз задачка, два задачка...-М.:Аскар,2015.
Леман, И. Увлекательная математика/ Пер. с нем. Ю.А. Данилова. М., 2015.
Лихтарников, Л.М. Задачи мудрецов: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учебная литература», 2016.
Прасолов, В.В. Задачи по планиметрии. – М.: Наука, 2016.
Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе – М.: Айрис пресс, 2016.
Фарков, А.В. Готовимся к олимпиадам по математике – М.: Экзамен, 2016.
Математические олимпиады и олимпиадные задачи – http://www.zaba.ru.
Интернет – ресурсы
https://yandex.ru/turbo/lifehacker.ru/s/zadachi-s-sobesedovanij/
.png)
