Просто о сложном. «Прием вспомогательной дроби»
Глущенко Дмитрий Юрьевич
Учитель математики МБОУ «СОШ №15» г. Славгород Алтайского края
Дроби, ломаные числа. Уже эти слова вызывают у детей и учителей математики настороженность. И действительно, сложность усвоения этих тем описывают не только учителя-практики, но и методисты.
Но многих проблем и сложностей можно избежать, используя рациональные приемы и алгоритмы.
В основу своей статьи хочу предложить материал Щукиной Натальи Михайловны «Трудности усвоения темы "Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», в которой описаны традиционные подходы к освоении этого материала.
Тема урока – одна из самых трудных в курсе для 6-го класса, во многом именно во время изучения этой темы успеваемость по математике падает. Многие учащиеся, не справившись с изучением данной темы, двигаются дальше, имея пробелы в умении работать с числами, что приводит к уменьшению качества обученности учащихся и в следующих классах.
Какие же трудности возникают у учащихся во время изучения темы “Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями”?
Во-первых, для изучения этой темы необходимо много знаний, которые как по кирпичикам изучаются целый месяц и каждая тема в отдельности сама по себе трудна.
Во-вторых, данная тема изучается осенью (сентябрь-октябрь) и приходится на пик простудных заболеваний, а значит, знания необходимые для её изучения у многих оказываются неполными, а значит и вся тема усвоена быть не может.
В-третьих, правило, предлагаемое в учебнике настолько большое, что большинство учащихся, читая его, психологически не готовы с ним справиться.
В данной статье речь идет об учебнике авторов И.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, так как в большинстве школ используется учебник этого авторского коллектива.
Главный вопрос, который стоит перед учителем, как помочь преодолеть все трудности изучения данной темы? Отвечая на этот вопрос, разберём каждую причину в отдельности.
Поставим себя на место ученика, получившего задание сложить дроби с разными знаменателями, откроем учебник и прочитаем правило: “Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби”.[1]
Для того чтобы это выполнить надо вспомнить как привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Вернемся на несколько тем назад, читаем правило: “Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель”.[1] После прочтения второго правила многие ученики останавливаются, так как психологически это очень много действий для одного простого примера, мало того надо вспомнить как найти наименьшее общее кратное и не перепутать его с нахождением наибольшего общего делителя. Вот тут возникает эффект похожий на тот, когда вам принесли подарок в большой коробке, вы радуетесь, открываете его и видите, что внутри опять коробка, вы немного огорчены. Открываете её, и снова коробка и тут вы понимаете, что подарок гораздо меньше, чем казался вначале, а после следующей коробки возникает вопрос: а есть ли подарок? У многих учеников похожие эмоции, сначала на уроке они слушают, потом понимают, что действий много, в какой-то момент отвлекаются и теряют алгоритм действий.
Читаем правило для нахождения наименьшего общего кратного: “Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей”.[1] Ещё 4 пункта и того 7, многовато! А если учесть, что для того чтобы разложить числа на простые множители необходимо помнить признаки делимости на 10, на 5, на 2, на 3, на 9, хорошо владеть таблицей умножения, помнить простые числа хотя бы в пределах 30, то для некоторых задача становится непосильной. Подведем итог, что же должен знать и уметь учащийся для сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:
Знать признаки делимости на 10, на 5, на 2, на 3, на 9.
Знать простые числа в пределах 30.
Уметь раскладывать числа на простые множители.
Уметь находить наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.
Уметь находить дополнительный множитель.
Уметь приводить дроби к данному знаменателю.
Уметь складывать, вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.
И здесь задача учителя облегчить нахождение каждого из пунктов. Готовясь к уроку, каждый учитель подбирает методы и приёмы, которые будут доступны его классу, объясняет новый материал так, чтобы он был понятен всем. Однако осень - пора простудных заболеваний и каждый из нас подвержен им. За два осенних месяца успевает заболеть до 80% учащихся класса, а значит хотя бы одна из тем усваивается недостаточно, что неизбежно приводит к трудностям при действии с дробями с разными знаменателями. Как следствие, эти трудности остаются непреодолимыми и во время всего обучения с 6 до 9 класса. Учащиеся, сталкиваясь с дробями с разными знаменателями, терпят неудачу, пытаясь вспомнить такой долгий алгоритм нахождения, а значит, качество обученности с каждым годом падает.
Алгоритм сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:
Разложить знаменатели дробей на простые множители.
Найти наименьшее общее кратное знаменателей, оно и будет наименьшим общим знаменателем:
а) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
б) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
в) найти произведение получившихся множителей.
Найти для каждой дроби дополнительный множитель.
Привести каждую дробь к наименьшему общему знаменателю.
Сложить или вычесть полученные дроби.
Пример: Вычислите 11/630+1/84
1. 630=2•3•3•5•7
84=2•2•3•7
2. НОК(630, 84)=2•2•3•3•5•7=1260
3. 1260:630=2, 1260:84=15.
4. Домножим дроби на 2 и 15 соответственно, получим :
22/1260+15/1260=37/1260
Этот алгоритм учащиеся должны знать. На первом уроке я обязательно даю этот алгоритм и привожу пример. Это занимает много времени на уроке, учащиеся отвлекаются, кого-то пугает длинный алгоритм, поэтому я поясняю, что этот алгоритм будем применять только для дробей со знаменателем, который больше 100. Далее я предлагаю учащимся рассмотреть алгоритм и понять, какая его часть занимает много времени и всегда это оказывается нахождение наименьшего общего знаменателя. В учебнике этот вопрос вообще опускается, после правила приводятся примеры, в которых не показано как нашли наименьший общий знаменатель.
Алгоритм нахождения наименьшего общего знаменателя:
Выберите из знаменателей дробей наибольший.
Проверьте: делится ли большее число на меньшее?
Если нет, то найдите следующее кратное большего знаменателя и повторите пункт 2.
Если да, то большее число и есть наименьший общий знаменатель.
Когда я привожу этот алгоритм, на первый взгляд он может показаться непонятным, но после примера все встает на свои места.
Пример 1: Найдите наименьший общий знаменатель дробей 1/3 и 1/6.
1) 6>3.
2) 6:3=2, сл. НОЗ(3,6)=6.
Пример 2: Найдите наименьший общий знаменатель дробей 5/18 и 7/12.
1) 18 > 12.
2) 18 не делится на 12, 18+18=36.
3) 36:12=3, сл. НОЗ(12,18)=36.
Пример 3: Найдите наименьший общий знаменатель дробей 4/15 и 1/12.
1) 15 > 12.
2) 15 не делится на 12, 15+15=30.
3) 30 не делится на 12, 30+15=45.
4) 45 не делится на 12, 45+15=60.
5) 60:12=5, сл. НОЗ(12,15)=60.
Все действия, приведенные в примерах, выполняются устно и легко запоминаются учащимися, тем самым исчезает трудность нахождения наименьшего общего знаменателя.
Алгоритм нахождения наименьшего общего знаменателя можно предложить учащимся раньше, при изучении темы “Приведение дробей к общему знаменателю”, тогда целесообразно использовать оба алгоритма, один для знаменателей в пределах 100, другой для остальных.
Некоторые учащиеся интересуются, почему получаемое число при таком алгоритме действительно является наименьшим общим знаменателем? В этом случае можно предложить учащимся самим или с помощью учителя на одном примере проверить действие обоих алгоритмов и сравнить результаты. Интересно будет, если провести эту работу по вариантам и посмотреть какой вариант быстрее справится. Так же можно выписывая кратные знаменателей заметить, что кратные большего знаменателя быстрее приводят нас к наименьшему общему кратному чисел.
Любой пример с числами в пределах 100, в том числе и с дробями, должен выполняться учащимися устно, а значит и нахождение наименьшего общего знаменателя, и дополнительных множителей должно выполняться устно. Такой подход, на мой взгляд, избавляет учащихся от страха неудачи. Легко запоминающийся алгоритм, приводит к быстрому усвоению материала и прочному навыку сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.
Список литературы:
Виленкин И.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник математики 6 класс.
В этой статье описанные алгоритмы дети готовы применять и, как правильно отмечено, в пределах 100 делают это устно. Но проходит некоторое время, конец 6-го класса , начало 7-го и дети с трудом вспомнят алгоритм приведения к общему знаменателю. Часто встречаемые случаи дети запоминают, а вот в случаях более сложных чаще всего теряются. Многие учителя опускают руки и используют прием «перекрестного» перемножения дробей, которое редко приводит к наименьшему общему знаменателю, а огромные числа ставят в ступор даже сильных учеников.
Что же делаю я, чтобы облегчить нахождение общего знаменателя. Я назвал этот прием «приемом вспомогательной дроби». Суть этого приема не в нахождении нового общего знаменателя, а в нахождении дополнительных множителей.
Для применения этого приема достаточно уверенно пользоваться основным свойством дроби (домножать и сокращать дроби).
Пример 1:
5/52 +12/91
Алгоритм:
Составим вспомогательную дробь из знаменателей 52/91
Сократим дробь на 13 и получим 4/7 (Если дробь несократимая, то переходи к п.3).. 4 и 7 - дополнительные множители. Обратим внимание, что к дроби с меньшим знаменателем идет больший множитель, а к дроби с большим знаменателем - меньший множитель.
Домножаем дроби и получаем: 35/364+48/364=83/364
Этот прием исключает подбор и угадывание нового знаменателя, которые выполняются не всегда успешно, понятно и быстро.
Пример 2:
167/168-3/70
Составим вспомогательную дробь из знаменателей 70/168
Сократим дробь на 2 и на 7 и получим 5/12.(Тема сокращения дается даже не сильным ученикам довольно успешно)..5 и 12 - дополнительные множители. Обратим внимание, что к дроби с меньшим знаменателем идет больший множитель, а к дроби с большим знаменателем - меньший множитель.
Домножаем дроби и получаем: 835/840-36/840=799/840
Этот прием исключает подбор и угадывание нового знаменателя, которые выполняются не всегда успешно, понятно и быстро. Всего три пункта алгоритма легко запомнить шаги не трудоемкие.
Буду рад, если материал будет использован на практике моими коллегами.
https://fgosonline.ru/stati_po_rybrikam/
