Исследование тригонометрических функций.
1)Область определения.
«Областью определения функции действительного переменного называется множество действительных значений аргумента, при которых функция принимает действительные же значения».
Областью определения функций и является множество всех действительных чисел. Данный факт довольно просто обосновывается на основе окружности: каждому действительному числу х соответствует точка на окружности . Каждой точке соответствуют ее абсцисса и ордината, каждая из них - это действительное число. Следовательно, значения функций и для любого действительного хтакже действительные числа.
Область определения функций и обладает некоторыми ограничениями. Подтвердить данное свойство мы можем на основании того факта, что . В этом случае область определения функции - это все действительные числа, за вычетом нулей функции . Данный факт можно обосновать и посредством окружности:
(рис.1)
Любому действительному числу х соответствует точка на окружности.Если , то данная точка обладает координатами, отличными от (0;1) и (0;-1), тогда через точки и мы можем провести прямую, которая пересечет касательную к окружности, проходящую через точку (1;0), в некоторой точке . Полученная точка будет иметь ординату, являющуюся действительным числом. А значит в подобных точках функция будет принимать действительные значения. Если же, то прямая . будет совпадать с осью , а, значит, будет параллельна касательной к окружности. Здесь мы не сможем отыскать точку и ее ординату, а, следовательно, в данных точках функция будет не определена. Значит, можем сделать вывод, что . Для функциивсе аналогично, а, следовательно, ученики могут выполнить их самостоятельно.
К моменту изучения тригонометрии область определения, как свойство функций, уже довольно хорошо изучена, а процесс ее нахождения уже перешел из разряда умений в разряд навыков. Несмотря на это, изучая тригонометрические функции, следует повторно уделить внимание отысканию области определения, в особенности функций типа: , а также кусочно-заданных функций
y=
2) Область значений функции.
«Областью значений функции называется множество, состоящее из всех чисел , таких, что принадлежит области определения функции ». Ни в одном их действующих школьных учебников нет четкого обоснования того факта, что область значений функций и - это отрезок [-1;1], а взамен этого происходит рассмотрение неравенств - и , которые выполняются для всех значений . Хотя, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1]. На это следует обратить особо пристальное внимание, чтобы учащиеся уяснили разграничение двух совершенно различных свойств: ограниченности и области значений.
3) Четность и нечетность.
Изучая свойства четности и нечетности тригонометрических функций, следует дать четкое обоснование того факта, чтоa для любых действительных значений . Обычно обоснование данного факта сводится к симметричности точек окружности, соответствующих числам или углам и в зависимости от того, на каком этапе происходит обоснование. «Если числусоответствует точка числовой окружности, то числу соответствует точка , симметричная точке относительно горизонтального диаметра окружности (то есть относительно оси абсцисс). У таких точек одна и та же абсцисса, а ординаты равны по модулю, но отличаются знаком. Следовательно, ,a» .Обратим внимание, что факт симметричности точек и не столь очевиден, а следовательно, сам нуждается в обосновании, выполнить которое возможно, к примеру, рассмотрев треугольник . Обозначим точку пересечения отрезкас осью за . В этом случае треугольник равнобедренный ( как радиусы одной окружности), луч - биссектриса угла , а, значит, и высота, и медиана треугольника . Значит точки и на самом делерасположены симметрично относительно оси по определению. Благодаря этому мы можем сделать вывод о значениях синуса и косинуса противоположных углов. Теперь обоснование равенствине вызовет затруднений.
После этого стоит снова обратить внимание учеников на следующий факт. В определениях четных и нечетных функций в явном виде не указано то, что область определения этих функций, симметрична относительно начала координат, но данный факт нередко бывает полезен при решении задач типа «Докажите, что функция , не является ни четной, ни нечетной». Пользуясь данным фактом и определив, что область определения данной функции не является симметричной относительно начала координат, мы можем сделать вывод, что функция , на самом деле, не является ни четной, ни нечетной, без рассмотрения соответствующих уравнений.
4) Монотонность.
При изучении свойства монотонности тригонометрических функций в большей части действующих учебников нет четкого доказательства возрастания функций ина промежутках [] и [] соответственно, а обоснование данных фактов происходит посредством числовой окружности: «При движении точки по четвертой и по первой четвертям окружности в положительном направлении (от до ) ее ордината постепенно увеличивается (от -1 до 1), значит функция является возрастающей на этом промежутке». Более строгое доказательство данного факта приводится с опорой на формулу разности синусов и применяется в случае, когда изучение тригонометрических преобразований происходит до изучения тригонометрических функций, то есть когда формула разности синусов к моменту исследования тригонометрических функций уже изучена.
5) Нули функции и промежутки знакопостоянства.
Поиск нулей функций и промежутков знакопостоянства по сути представляет собой решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств, рассмотрение которых было еще при изучении числовой окружности и не вызывает затруднений.
6) Периодичность.
Рассмотрению данного свойства стоит уделить отдельное внимание, поскольку ученики в первый раз сталкиваются с периодическими функциями. Чтобы отработать понятия периодичности функции можно воспользоваться следующими упражнениями.
1. На рисунке изображена часть графика периодической функции на отрезке [-2;2], длина которого равна периоду функции. Выполните построение графика функции на отрезках [-6;-2], [2;3].
2. Выполните построение графика периодической функции,с периодом равным 2, если на отрезке [-1;1].
3. Будет ли число периодом функции ? А ее основным периодом?
4. Найдите основные периоды функций , , .
5. Приведите доказательство того, что если функция является периодической, то и тоже периодическая.
6. Пусть функция периодическая, и – ее периоды. Докажите, что любое число вида , где , тоже является периодом функции .
7. Приведите доказательство того, что функции и не являются периодическими.
8. Приведите доказательство того, что возрастающая функция не может быть периодической. И т.д.
Стоит обратить внимание учеников на то, что периодическая функция обладает бесконечным множеством периодов, среди которых стараются выделить, если это представляется возможным, наименьший положительный период, называемый основным.
В дальнейшем, отрабатывая навыки по исследованию тригонометрических функций и построению их графиков, пользуются гармоническими колебаниями, которые имеют вид и . Основная цель введения гармонических колебаний – это наглядная демонстрация того, как происходит изменение свойств функций в зависимости от значения коэффициентов , и .
Научившись беспроблемно использовать свойства тригонометрических функций, мы можем переходить к решению тригонометрических уравнений и к тригонометрическим преобразованиям. Не следует при изучении тригонометрических функций смещать центр тяжести в сторону алгебры, другими словами не стоит ставить на первое место умения, связанные с выполнением тригонометрических преобразований. Данные умения, несомненно, являются важными и развивают у учащихся комбинаторные, логические и алгоритмические навыки, но главное в изучении тригонометрических функций при этом уходит в тень. Следовательно, не стоит забывать, что основная задача учителя математики – все-таки развитие умственных способностей ребенка.
.png)
.png)
