Разработка урока "Примеры комбинаторных задач"

Тема урока: «Примеры комбинаторных задач».

Цель урока: повторить и обобщить основные понятия комбинаторики, ввести комбинаторное правило умножения.

Задачи:

Образовательная:

- научить решать простейшие комбинаторные задачи;

- научить определять тип комбинаторных задач.

Развивающая: 

- развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления; развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации;

- учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

Воспитательная: 

- формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели;

- формирование навыков коллективного труда.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска.

План урока:

Организационный момент (2 мин).

Постановка цели урока. (1 мин).

Актуализация опорных знаний (2 мин).

Изучение нового материала (25 мин).

Закрепление изученного материала (12 мин).

Подведение итогов (2 мин).

Домашнее задание (1 мин).

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Постановка цели урока.

Сегодня мы с вами начнем изучать новый раздел. Мы с вами рассмотрим основные типы задач комбинаторики.

3. Актуализация опорных знаний.

Проводится в форме фронтальной работы с классом.

4. Изучение нового материала.

Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока «Примеры комбинаторных задач».

Учитель:

Определение: Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из раздела множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.

Фигурные числа:

В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа, сконструированы треугольные и пятиугольные числа.

Квадратное число находится по формуле:

Nкв.=пп

Треугольное число находится по формуле:

Nтр.=п(п-1):2

Пятиугольные числа находятся по формуле:

Nпят.=п+3п(п-1):2

Все составные числа древние математики представляли в виде прямоугольников.

Методы решения комбинаторных задач

1. Правило суммы

2. Правило произведения

3. Таблицы

4. Графы (деревья)

5. Перебор

6. Формулы

Правило суммы

Правило 1:Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен к1+к2 способами.

Задача 1. Сколько существует способов выбрать кратное двум или трем число из множества чисел : 2,3,4,15,16,20,21, 75,28 ?

Решение: к1=5 –кратное 2 (2,4,16,20,28),

к2=4 – кратное 3 (3,15,21,75)

к1+к2 = 5+4 = 9

Правило произведения

Правило 2: Если элемент А может быть выбран к1 способами, а элемент В – к2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен к1хк2 способами

Задача 2. а) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Решение: N=5х5 = 25 ( Если не сказано, что элемент не повторяется, то выборка с повторениями)

б) Сколько среди них чисел, кратных 5?

Решение: Число кратно 5, если оканчивается цифрой 5 или 0. В нашем случае – 5.

На первой позиции фиксируем одну из пяти цифр, на второй – 5.

N=5х1 =5

в) Сколько среди них чисел, кратных 11?

Решение: Двузначное число кратно 11, если обе его цифры одинаковы.

N= 5

Таблицы вариантов

Задача 3. Составляя расписание уроков на понедельник для 7а класса, завуч хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо русский язык, либо литературу, либо историю. Сколько существует вариантов составления расписания на первые два урока?

Решение: Составим таблицу вариантов:

Всего существует 2х3 = 6 вариантов

Подсчет вариантов с помощью графов

Задача 4. Из 4-х тузов поочередно выбирают два.

А) Нарисуйте дерево возможных вариантов (12)

Б) В скольких случаях среди выбранных будет бубновый туз? (6)

В) В скольких случаях вторым выбранным будет туз пик? (3)

Г) В скольких случаях тузы будут разного цвета? (8)

Граф-дерево

ТУЗЫ

Б Ч П К 1-ый выбор

Ч П К Б П К Ч Б К Б Ч П 2-ой выбор

Задачи на перестановки

Задача 5: Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан. Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке: яблоко / груша / банан. Сколькими способами их можно переставить?

Решение:

яблоко / банан / груша 
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша 
банан / груша / яблоко

яблоко / груша / банан

Итого: 6 комбинаций

Задача 6: сколькими способами можно выбрать из яблока, груши, банана:

а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта?

а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан.

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
и банан.

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом.

5. Закрепление изученного материала.

Учитель: Решаем задания

Задача 7: У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светла­на. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариан­тов?

Решение.

И.В.З. И.З.М. И.М.П. И.С.П.

И.В.М. И.З.П. И.М.С.
И.В.П. И.З.С

И.В.С. Ответ: 10 вариантов.

Задача 8. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

а)Сколько всего стран могут использовать такую символику?

Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4х3х2х1=24

б) Сколько стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

Решение: Если фиксировать цвет белой полосы, то цвета следующих полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.

в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней белой полосой?

Решение: Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать 3х2х1 = 6 способами.

г) Сколько стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

Решение: Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно составить 3х2х1=6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная, или красная, а под ней синяя. Поэтому общее количество вариантов по правилу суммы равно 6+6=12

6. Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Ученики: Познакомились с разделом математики – комбинаторикой. Научились решать простейшие задачи, рассмотрели типы задач комбинаторики.

7. Домашнее задание.

Запись на доске и в дневниках: 

Задача 1: При встрече 8 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Задача 2: У Ирины четыре подруги: Вера, Зоя, Марина, Полина. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариан­тов?